Exemple de calcul de l'inverse d'une matrice par ce procédé
Soit la matrice \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{array}\right)\)
Les transformations élémentaires utilisées sont des transformations élémentaires sur les lignes ce qui revient à multiplier à gauche par des matrices élémentaires. On les effectue simultanément sur la matrice \(\mathcal A\) (colonnes de gauche) et sur la matrice unité \(\mathcal I_n\) (colonnes de droite).
On lit le tableau de la façon suivante : dans les cases de la colonne centrale sont indiqués les transformations à effectuer, dans la colonne de gauche est indiqué le résultat de cette action à partir de la matrice \(\mathcal A\), dans celle de droite le résultat de cette action à partir de la matrice unité. Cela donne :
Et donc \(\mathcal A^{-1}=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccccc}1&-3&2\\-3&3&-1\\2&-1&0\end{array}\right)\)