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Développement du déterminant d'une matrice par rapport à une ligne et démonstration de l'existence

La démonstration du théorème - définition comporte deux parties : la démonstration de l'existence et celle de l'unicité. Elles sont toutes les deux liées à des formules permettant de calculer un déterminant.

Pour démontrer l'existence d'un objet mathématique satisfaisant aux conditions du théorème - définition, on donne une formule qui, de plus, permet de calculer effectivement le déterminant d'une matrice, et on vérifie que les propriétés caractéristiques des déterminants sont satisfaites.

Notation :

Soit une matrice carrée d'ordre . Il est évident que si l'on supprime une ligne et une colonne dans , la matrice obtenue est à lignes et colonnes. On note la matrice obtenue en supprimant la -ème ligne et la -ième colonne.

Le théorème d'existence peut s'énoncer de la façon suivante :

Théorème : Existence

Les formules suivantes :

  • Si a est un élément quelconque de K, .

  • Si est une matrice carrée d'ordre .

définissent par récurrence, pour tout entier supérieur ou égal à 1, une application de dans K qui satisfait aux propriétés caractérisant les déterminants.

La démonstration se fait par récurrence sur l'ordre des matrices.

  • Cas

Soit  ; on peut définir par : . Il est immédiat que toutes les propriétés souhaitées sont satisfaites.

  • Supposons que l'application soit définie et vérifie les propriétés (1), (2) et (3).

  • Soit une matrice carrée d'ordre .

Un indice étant fixé, le scalaire est bien défini puisque toutes les expressions qui interviennent dans cette formule concernent des matrices d'ordre .

Alors l'application vérifie les propriétés (1), (2) et (3).

Cela découle de leur véracité pour le déterminant des matrices d'ordre . Les calculs sont un peu longs mais ne présentent pas de difficultés conceptuelles.

Méthode : Indications pour une démonstration

Pour faciliter l'exposition, la preuve va être faite pour .

Propriété : (1)

Soit , notée aussi est la -ième colonne de .

Il s'agit de vérifier que

est -linéaire.

Si , cette décomposition modifie le coefficients

et les matrices avec (puisque dans ces matrices la -ième colonne " reste ").

Cela donne soit :

où \widehat{C^1_r} désigne la -ième colonne de à laquelle on a supprimé la première ligne et

la matrice déduite de en supprimant la -ième colonne et la première ligne ; par conséquent les matrices qui interviennent dans la somme précédente possèdent ligne et colonnes et on peut donc leur appliquer l'hypothèse de récurrence. D'où :

Ce qui achève la démonstration.

Propriété : (2)

Si la matrice a deux colonnes égales, par exemple et avec et distincts, il est clair que les colonnes, obtenues en supprimant la première ligne, et sont encore égales ; donc toutes les matrices d'ordre , , avec différent de et de , ont deux colonnes égales. D'où, d'après l'hypothèse de récurrence,

,

et sont égales. Supposons par exemple supérieur à . Il faut transpositions pour amener la -ième colonne à la -ième place.

Compte tenu de l'hypothèse de récurrence il vient

d'où

puisque (les colonnes de rang et de rang son égales). Donc

Propriété : (3)

Si l'on considère la matrice unité , ses coefficients sont tels que :

Donc

Or la matrice obtenue à partir de la matrice unité en supprimant la première ligne et la première colonne est la matrice unité d'ordre ; on peut donc lui appliquer l'hypothèse de récurrence.

Alors . Ceci achève la preuve.

On peut donc définir

Remarque

La définition donnée ci-dessus suppose le choix d'un indice de ligne et peut paraître arbitraire. Alors se pose naturellement la question : que se passe-t-il si l'on prend une autre valeur pour ? l'unicité du déterminant d'une matrice dont la démonstration va être faite dans la deuxième partie de ce paragraphe permet de répondre. Quelque soit la ligne choisie, le résultat est le même.

Définition : Développement du déterminant par rapport à la i-ème ligne

La formule

est appelée le développement du déterminant par rapport à la -ème ligne.

Règle : Vocabulaire

Le scalaire est appelé le cofacteur de . Le scalaire est appelé le mineur de

On peut écrire la " matrice des signes " autrement dit la matrice d'ordre n dont le terme général, élément de la -ième ligne et -ième colonne, est .

C'est le coefficient par lequel il faut multiplier le mineur pour avoir le cofacteur de .

Cela donne la matrice dite matrice des signes.

Exemple : Explications des formules dans le cas des matrices d'ordre 2 et 3.

Déterminant d'une matrice d'ordre 2

Soit . Le développement par rapport à la première ligne donne

.

Or , .

D'où

Ce résultat est évidemment à retenir puisque tout calcul de déterminant se ramènera, in fine, au calcul de déterminants d'ordre 2, compte tenu de la formule précédente qui permet de ramener le calcul d'un déterminant d'une matrice d'ordre n à celui de déterminants de matrices d'ordre .

On peut illustrer aussi sur cet exemple la remarque faite précédemment sur le choix d'une ligne.

En effet, le développement par rapport à la deuxième ligne donne : , ce qui est bien la même valeur.

Déterminant d'une matrice d'ordre 3

Soit une matrice d'ordre 3. Choisissons par exemple et développons par rapport à la deuxième ligne.

La formule

devient

Les matrices sont obtenues à partir de en supprimant la -ième ligne et la -ième colonne. Ce sont donc des matrices d'ordre 2 dont on sait calculer le déterminant d'après ce qui précède.

Explicitement cela donne

On achève le calcul grâce à la formule des déterminants d'ordre 2. Cela donne par conséquent :

soit

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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