Expression explicite du déterminant d'une matrice et démonstration de l'unicité

L'existence d'un objet mathématique vérifiant les propriétés (1), (2) et (3) du théorème - définition vient d'être démontrée.

L'objectif de ce paragraphe est de démontrer l'unicité d'un tel objet. Pour cela on va montrer que l'image d'une matrice par une application de dans vérifiant les propriétés (1), (2) et (3) a une expression explicite entièrement déterminée, ce qui assure l'unicité.

On note une application vérifiant ces propriétés.

Le point essentiel est sa linéarité par rapport à chaque colonne.

Pour utiliser de manière efficace cette propriété, il est utile d'introduire une base de l'espace vectoriel des matrices colonnes et bien évidemment c'est la base canonique qui est choisie. C'est la base où, pour tout compris entre 1 et , est la matrice à n lignes et une colonne dont tous les éléments sont nuls sauf celui de la -ième ligne qui est égal à 1. Alors une matrice colonne s'écrit

Donc, si est une matrice carrée d'ordre , il s'agit de calculer

On utilise encore ici l'identification entre colonne et matrice colonne.

Rappel : Groupe symétrique

Avant d'effectuer le développement de cette expression, nous allons indiquer brièvement le vocabulaire et les propriétés de la théorie des groupes symétriques, nécessaires ici :

Une permutation de \{1,2,\ldots,n\} est une bijection de \{1,2,\ldots,n\} dans lui-même. L'ensemble des permutations de \{1,2,\ldots,n\}, muni de la composition des applications est un groupe (non commutatif) appelé groupe symétrique et noté . Il a éléments.

Une transposition de \{1,2,\ldots,n\} est une permutation qui échange deux éléments distincts et laisse invariants tous les autres.

Un résultat tout à fait essentiel : toute permutation d'un ensemble fini peut s'écrire comme un produit de transpositions.

Attention, une telle décomposition n'est pas unique. Mais, pour une permutation donnée , la parité du nombre T de transpositions qui interviennent dans une décomposition en produit de transpositions ne dépend pas de cette décomposition. Le nombre ne dépend donc que de la permutation considérée. On l'appelle signature de la permutation et on la note . Donc

.

Ce n'est pas forcément la façon dont on définit la signature d'une permutation, mais c'est le résultat qui sera utile ici, comme le prouve la proposition suivante.

La signature est multiplicative autrement dit vérifie la propriété :

Propriété : Effet de la permutation des colonnes sur le calcul du déterminant d'une matrice

Si est une permutation de l'ensemble , ,

est la signature de la permutation .

Démonstration

La démonstration est entièrement basée sur les propriétés de la signature d'une permutation que nous venons de rappeler.

En effet elle est vraie pour une transposition, c'est la propriété (2'). Ensuite il suffit de décomposer en un produit de transpositions . Une récurrence prouve que

Et d'après la mutiplicativité de la signature, on a et donc le résultat.

Ce résultat peut être facilement explicité pour

Soit une permutation de l'ensemble . Compte tenu de la propriété (2') (équivalente à la propriété (2) d'après la proposition ci-dessus), les scalaires

, notés , sont égaux à ou à suivant la parité du nombre d'échanges de deux colonnes nécessaires pour passer de à , autrement dit suivant le nombre de transpositions nécessaires pour passer de à .

En effet, chacun de ces échanges fait apparaître un coefficient multiplicatif .

Nous pouvons l'expliciter ici en écrivant les différentes permutations de ; la transposition qui échange et et laisse invariant le reste est notée .

La permutation , , est notée .

(i,j,k)

Transpositions

Signature de la permutation

Coefficients

(1,2,3)

Identité

1

1

(1,3,2)

Une transposition :

-1

-1 (échange d'une colonne)

(2,1,3)

Une transposition :

-1

-1 (échange d'une colonne)

(2,3,1)

Produit de deux transpositions :

(échange de deux colonnes)

(3,1,2)

Produit de deux transpositions :

(échange de deux colonnes)

(3,2,1)

Une transposition :

-1

-1 (échange d'une colonne)

Et donc

  • Développement de l'expression

Bien que cela ne soit pas nécessaire pour la rigueur logique de la démonstration, nous allons commencer par étudier le cas des matrices d'ordre 3. Cela facilite la compréhension de la technique du développement et de la formule à laquelle on aboutit.

Développement dans le cas

Soit la matrice

On a alors

En utilisant la propriété (1) satisfaite par le déterminant, on obtient

Dans cette somme, les scalaires , pour lesquels au moins deux des indices sont égaux, sont nuls et donc ne restent que ceux pour lesquels les trois indices sont distincts.

Ce sont donc les triplets obtenus par permutation de . Il y a permutations, à savoir

Donc

Or, on a vu la formule générale , résultat qui a été détaillé pour .

En utilisant les formules obtenues, à savoir

il vient

Développement dans le cas général

En utilisant la multilinéarité du déterminant, on obtient

(*)

Les sommations qui interviennent dans le deuxième membre de cette formule peuvent être interprétées de la manière suivante : l'ensemble caractérise l'application de dans lui-même . Donc en fait la sommation multiple de la formule (*) est une sommation indiciée par l'ensemble des applications de dans lui-même (ensemble que nous notons ). Cela permet d'écrire :

(**)

La propriété (2) des déterminants prouve que si deux des indices sont égaux, alors les colonnes sont égales et

Or il existe et distincts tels que si et seulement si l'application n'est pas une bijection.

Il en résulte que seuls vont rester dans le deuxième membre de l'égalité (**) les facteurs pour lesquels l'application est une bijection, donc un élément de .

Donc, en fait, on somme sur les permutations de , ce qui peut s'écrire .

Or, d'après la propriété précédente,

Par conséquent

Comme, de plus, est le déterminant de la matrice unité, il est égal à 1 et l'on obtient

Le membre de droite de cette égalité est entièrement déterminé dès que est connue. Cela prouve bien l'unicité d'une application de dans K multilinéaire, alternée et telle que l'image de la matrice unité soit égale à 1.

Ce résultat prouve donc l'unicité du déterminant.

De plus il donne une formule explicite du déterminant d'une matrice.

Elle est à retenir car elle peut être utile, en particulier dans des calculs théoriques sur les déterminants.

Théorème : Formule explicite du déterminant d'une matrice

Soit un entier supérieur ou égal à 1et une matrice carrée d'ordre .

Alors :

  • Notation :

La notation la plus usuelle utilisée pour noter le déterminant d'une matrice est :

Exemple : n=2 :

Soit à calculer .

Il n'y a que deux permutations de l'ensemble , la permutation identique dont la signature est égale à 1, et la transposition qui échange 1 et 2, dont la signature est égale à . Alors la formule précédente donne :

Résultat qui peut être visualisée de la manière suivante :

Remarque : 1

On aurait pu construire différemment la démonstration du théorème en commençant par démontrer l'unicité suivant le schéma logique suivant :

Si le déterminant existe avec les propriétés imposées, on trouve qu'il ne peut être nécessairement donné que par la formule

On vérifie ensuite que ce que l'on vient de trouver convient (c'est-à-dire que cette expression satisfait bien aux propriétés (1), (2) et (3)).

A priori cela serait plus court, mais comme on a besoin pour calculer effectivement des déterminants de la formule du développement par ligne, cela ne gagne rien globalement.

Remarque : 2

Il existe un raccourci pour calculer les déterminants d'ordre 3. C'est la règle de Sarrus.

Mais attention, elle n'est valable que pour les déterminants d'ordre 3 et n'a d'intérêt que pour les déterminants ne faisant pas intervenir de paramètre. Elle est donnée ici plus d'un point de vue culturel que pour son utilité, qui est très limitée.

Règle : Sarrus

Le résultat obtenu dans le calcul fait pour peut être écrit de la manière suivante :

Ce résultat peut être visualisé de la manière suivante :

Le déterminant est égal à la somme des produits des éléments reliés par une flèche, affectés du signe si la flèche est parallèle à la diagonale principale, affectés du signe si la flèche est parallèle à l'autre diagonale.

Cette représentation est un moyen de retenir le procédé, mais n'a pas de sens mathématique en elle-même.

Remarque : 3

Pour les étudiants connaissant la notion d'anneau, définition du déterminant d'une matrice à coefficients dans un anneau commutatif de caractéristique différente de 2.

Définition : du déterminant d'une matrice à coefficients dans un anneau commutatif

L'expression ne fait intervenir que les lois additive et multiplicative de .

On peut donc définir le déterminant d'une matrice carrée à coefficients dans un anneau commutatif par la formule :

(*)

Par exemple on peut prendre est un corps.

Alors les quatre propriétés ( désigne la ième colonne de et la colonne dont le terme de la ième ligne est si est un élément de )

  1. Pour et , on a

sont encore valables puisque leurs démonstrations à partir de la formule explicite (*) ne font intervenir que les lois additive et multiplicative de et leurs propriétés, déduites de la structure d'anneau de .

Les propriétés 2., 3. et 4. sont aussi vraies en remplaçant les colonnes par les lignes.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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