Mathématiques
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Test A
Le test comporte 4 questions :
Calcul direct d'un déterminant d'ordre n
Déterminant d'ordre 4 avec paramètre
Calcul d'un déterminant d'ordre n par récurrence
Déterminant et dérivée
La durée indicative du test est de 60 minutes.
Commencer
Calcul direct d'un déterminant d'ordre n

Soit un nombre réel, un entier supérieur ou égal à 2, et le déterminant suivant :

Calculer sous forme factorisée.

Déterminant d'ordre 4 avec paramètre

Soit un élément quelconque de ou , calculer le déterminant d'ordre 4 :

et déterminer les valeurs de qui annulent .

Calcul d'un déterminant d'ordre n par récurrence

On considère le déterminant d'ordre :

Etablir une relation de récurrence entre et .

En déduire .

Déterminant et dérivée

Soient des fonctions réelles dérivables sur . Pour tout réel on considère le déterminant défini par :

En utilisant la formule explicite du déterminant, montrer que la fonction réelle est dérivable sur et que pour tout réel on a :

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Calcul direct d'un déterminant d'ordre n

On peut remarquer que tous les coefficients placés sous la diagonale de sont égaux à 1. Si on retranche successivement la ligne 1 à chacune des autres lignes de on ne modifie pas et on obtient un déterminant triangulaire facile à calculer. Soit donc les transformations :

Un déterminant triangulaire est égal au produit des éléments placés sur la diagonale principale.

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Déterminant d'ordre 4 avec paramètre

La formule explicite prouve que est une expression polynomiale en . Comme on cherche les valeurs de qui annulent on utilise une méthode de calcul qui donne une factorisation de ce déterminant.

On retranche la ligne 1 successivement à la ligne 2 et à la ligne 3 . On obtient ainsi, en utilisant la linéarité du déterminant par rapport à la ligne 2 et la ligne 3, une factorisation de par .

On développe ensuite suivant la première ligne

(un déterminant triangulaire est égal au produit des éléments placés sur la diagonale principale).

Pour calculer le déterminant on peut ajouter à la colonne 2 la colonne 1 , puis développer suivant la première ligne :

D'où .

est nul si et seulement si ou ou .

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Calcul d'un déterminant d'ordre n par récurrence

En retranchant la deuxième colonne à la première colonne, on ne modifie pas et on obtient :

En développant suivant la première colonne on a : .

La suite est une suite géométrique de raison –1, , d'où :

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Déterminant et dérivée

D'après la formule explicite du déterminant, est l'ensemble des permutations de l'ensemble .

Les fonctions sont dérivables sur . Le produit de fonctions dérivables sur est une fonction dérivable sur , la somme de fonctions dérivables sur est une fonction dérivable sur , la fonction est donc dérivable sur .

Pour tout réel , .

Si , , sont trois fonctions dérivables,

;

d'où pour tout réel ,

d'où

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Bilan
Nombre de questions :4
Score obtenu :/40
Seuil critique :28
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :60 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)