Déterminants : définition, propriétés, calcul

La formule explicite prouve que \(D_\lambda\) est une expression polynomiale en \(\lambda\). Comme on cherche les valeurs de \(\lambda\) qui annulent \(D_\lambda\) on utilise une méthode de calcul qui donne une factorisation de ce déterminant.

On retranche la ligne 1 successivement à la ligne 2 et à la ligne 3 \((L_2\leftarrow L_2-L_1, L_3\leftarrow L_3-L_1)\). On obtient ainsi, en utilisant la linéarité du déterminant par rapport à la ligne 2 et la ligne 3, une factorisation de \(D_\lambda\) par \((1-\lambda)^2\).

\(D_\lambda=\left|\begin{array}{cccc}1-\lambda&0&0&1\\-(1-\lambda)&1-\lambda&0&0\\-(1-\lambda)&0&1-\lambda&0\\1&1&1&1-\lambda\end{array}\right|=(1-\lambda)^2\left|\begin{array}{cccc}1-\lambda&0&0&1\\-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\1&1&1&1-\lambda\end{array}\right|\)

On développe ensuite suivant la première ligne

\(D_\lambda=(1-\lambda)^2\left[(1-\lambda)^2(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\1&1&1-\lambda\end{array}\right|+(-1)^{1+4}\left|\begin{array}{ccc}-1&1&0\\-1&0&1\\1&1&1\end{array}\right|\right]\)

\(\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1-\lambda\end{array}\right|=1\times1\times(1-\lambda)\) (un déterminant triangulaire est égal au produit des éléments placés sur la diagonale principale).

Pour calculer le déterminant \(\left|\begin{array}{ccc}-1&1&0\\-1&0&1\\1&1&1\end{array}\right|\) on peut ajouter à la colonne 2 la colonne 1 \((C_2\leftarrow C_2+C_1)\), puis développer suivant la première ligne :

\(\left|\begin{array}{ccc}-1&1&0\\-1&0&1\\1&1&1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}-1&0&0\\-1&-1&1\\1&2&1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cc}-1&1\\2&1\end{array}\right|=3\)

D'où \(D_\lambda=(1-\lambda)^2\left[(1-\lambda)^2-3\right]=(1-\lambda)^2(1+\sqrt{3}-\lambda)(1-\sqrt{3}-\lambda)\).

\(D_\lambda\) est nul si et seulement si \(\lambda=1\) ou \(\lambda=1+\sqrt{3}\) ou \(\lambda=1-\sqrt{3}\).