Calcul d'un déterminant d'ordre n par récurrence
Durée : 15 mn
Note maximale : 10
Question
On considère le déterminant d'ordre \(n\) :
\(D_n=\left|\begin{array}{ccccccc}1&2&3&4&\ldots&n-1&n\\1&1&2&3&\ldots&n-2&n-1\\1&1&1&2&\ldots&n-3&n-2\\1&1&1&1&&&\\\vdots&&&&&&\\1&1&1&1&&1&2\\1&1&1&1&&1&1\end{array}\right|\)
Etablir une relation de récurrence entre \(D_n\) et \(D_{n-1}\).
En déduire \(D_n\).
Solution
En retranchant la deuxième colonne à la première colonne, on ne modifie pas \(D_n\) et on obtient :
\(D_n=\left|\begin{array}{ccccccc}-1&2&3&4&\ldots&n-1&n\\0&1&2&3&\ldots&n-2&n-1\\0&1&1&2&\ldots&n-3&n-2\\0&1&1&1&&&\\\vdots&&&&&&\\0&1&1&1&&1&2\\0&1&1&1&&1&1\end{array}\right|\)
En développant \(D_n\) suivant la première colonne on a : \(D_n=-D_{n-1}\).
La suite \((D_n)_{n\geq 2}\) est une suite géométrique de raison –1, \(D_2=\left|\begin{array}{cc}1&\\1&1\end{array}\right|=-1\), d'où :
\(D_n=(-1)(-1)^{n-2}=(-1)^{n-1}\)