Déterminants : définition, propriétés, calcul

D'après la formule explicite du déterminant, \(D_(x)=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_3}}\epsilon(\sigma)f_{\sigma(1),1}(x))f_{\sigma(2),2}(x))f_{\sigma(3),3}(x)\) où \(S_3\) est l'ensemble des permutations de l'ensemble \(\{1,2,3\}\).

Les fonctions \((f_{i,j})_{\begin{array}{c}1\leq i\leq 3\\1\leq j\leq 3\end{array}}\) sont dérivables sur \(R\). Le produit de fonctions dérivables sur \(R\) est une fonction dérivable sur \(R\), la somme de fonctions dérivables sur \(R\) est une fonction dérivable sur \(R\), la fonction \(x\mapsto D(x)\) est donc dérivable sur \(R\).

Pour tout réel \(x\), \(D'(x)=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_3}}\epsilon(\sigma)\left(f_{\sigma(1),1}(x)f_{\sigma(2),2}(x)f_{\sigma(3),3}(x)\right)'\).

Si \(u\), \(v\),\(w\) sont trois fonctions dérivables,

\((uvw)'=u'(vw)+u(vw)'=u'vw+uv'w+uvw'\);

d'où pour tout réel \(x\),

\(D'(x)=\displaystyle{\sum{\sigma\in S_3}}\epsilon(sigma)f'_{\sigma(1),1}(x)f_{\sigma(2),2}(x)f_{\sigma(3),3}(x)+\displaystyle{\sum{\sigma\in S_3}}\epsilon(sigma)f_{\sigma(1),1}(x)f'_{\sigma(2),2}(x)f_{\sigma(3),3}(x)+\displaystyle{\sum{\sigma\in S_3}}\epsilon(sigma)f_{\sigma(1),1}(x)f_{\sigma(2),2}(x)f'_{\sigma(3),3}(x)\)

d'où \(D'(x)=\left|\begin{array}{ccc}f'_{1,1}(x)&f_{1,2}(x)&f_{1,3}(x)\\f'_{2,1}(x)&f_{2,2}(x)&f_{2,3}(x)\\f'_{3,1}(x)&f_{3,2}(x)&f_{3,3}(x)\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}f_{1,1}(x)&f'_{1,2}(x)&f_{1,3}(x)\\f_{2,1}(x)&f'_{2,2}(x)&f_{2,3}(x)\\f_{3,1}(x)&f'_{3,2}(x)&f_{3,3}(x)\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}f_{1,1}(x)&f_{1,2}(x)&f'_{1,3}(x)\\f_{2,1}(x)&f_{2,2}(x)&f'_{2,3}(x)\\f_{3,1}(x)&f_{3,2}(x)&f'_{3,3}(x)\end{array}\right|\)