Calcul direct d'un déterminant d'ordre n
Durée : 15 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(x\) un nombre réel, \(n\) un entier supérieur ou égal à 2, et \(D_n(x)\) le déterminant suivant :
\(D_n(x)=\left|\begin{array}{cccccc}1&1&\ldots&\ldots&\ldots&1\\1&1-x&1&\ldots&\ldots&1\\1&1&2-x&1&\ldots&\ldots\\\vdots&\vdots&1&\ldots&\ldots&\ldots\\1&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&1\\1&1&\ldots&\ldots&1&n-x\end{array}\right|\)
Calculer \(D_n(x)\) sous forme factorisée.
Solution
On peut remarquer que tous les coefficients placés sous la diagonale de \(D_n(x)\) sont égaux à 1. Si on retranche successivement la ligne 1 à chacune des autres lignes de \(D_n(x)\) on ne modifie pas \(D_n(x)\) et on obtient un déterminant triangulaire facile à calculer. Soit donc les transformations :
\(L_2\leftarrow L_2-L_1 , L_3\leftarrow L_3-L_1 ,\ldots, L_n\leftarrow L_n-L_1\)
\(D_n(x)=\left|\begin{array}{cccccc}1&1&\ldots&\ldots&\ldots&1\\1&1-x&0&\ldots&&0\\0&0&1-x&&&\vdots\\\vdots&\vdots&0&&&\vdots\\0&\vdots&\vdots&0&&0\\0&0&\vdots&\vdots&0&n-1-x\end{array}\right|\)
Un déterminant triangulaire est égal au produit des éléments placés sur la diagonale principale.
\(D_n(x)=-x(1-x)(2-x)\ldots(n-1-x)=(-1)^nx(x-1)(x-2)\ldots(x-n+1)\)