Définition. Fonctions de référence
Définition :
On dit que deux fonctions \(f\) et \(g\) sont équivalentes au voisinage de \(\omega\) (ou quand \(x\) tend vers \(\omega\)) s'il existe une fonction \(\phi\), définie dans un voisinage épointé \(W^*\), de \(\omega\) telle que :
\(f(x)=\phi(x)g(x)\) avec \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\omega}\phi(x)=1\)
On note \(f\sim g\) (\(x\rightarrow\omega\)) ou \(\displaystyle{f\substack{x\rightarrow\omega}{\sim}g}\)
On écrira aussi \(f(x)\sim g(x)\) \((x\rightarrow\omega)\).
Le plus souvent, quand la fonction \(g\) ne s'annule pas dans un voisinage épointé de \(\omega\), on exprime la condition sous la forme \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\omega}\frac{f(x)}{g(x)}=1}\).
Les théorèmes sur les limites entraînent immédiatement qu'il s'agit effectivement d'une relation d'équivalence (réflexive, symétrique, transitive).
C'est une notion locale : on ne parle pas de fonctions équivalentes mais de fonctions équivalentes au voisinage d'un point. D'où une première réserve concernant une mauvaise utilisation du concept, on a \(\textrm{sin }x\sim x\) \((x\rightarrow0)\) mais non \(\textrm{sin }x\sim x\) \((x\rightarrow\pi)\) , il y a là une source certaine et vérifiée d'erreurs.