Fonctions équivalentes au voisinage d'un point

Étude au voisinage de 0 de la fonction \(\displaystyle{f : x\mapsto\frac{(e^x-1)\textrm{sin }^2x}{x^2\textrm{ln }(1+x)}}\)

Il s'agit d'un exemple particulièrement simple et typique, puisque l'utilisation d'équivalents permet de résoudre directement le problème posé par la forme indéterminée \(\displaystyle{\frac{0}{0}}\). La fonction se présente en effet comme produit et quotient de fonctions dont on connaît des équivalents. On a :

\(e^x-1\sim x,\quad\textrm{sin }^2x\sim x^2,\quad\textrm{ln }(1+x)\sim x\quad(x\rightarrow0)\),

d'où \(\displaystyle{f(x)\sim\frac{x^3}{x^3}}\) et \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}f(x)=1}\).

Étude au voisinage de 0 de la fonction \(\displaystyle{g : x\rightarrow\frac{x-\textrm{sin }x}{x-\textrm{tan }x}\quad(x\rightarrow0)\)

Il s'agit cette fois d'un exemple type où il faut éviter de dire des bêtises. En effet numérateur et dénominateur se présente sous forme de sommes, ce qui est a priori mauvais pour une utilisation brutale des équivalents. On utilise donc les développements limités des numérateur et dénominateur à un ordre convenable (ici 3 dans les deux cas).

En pratique :

On peut écrire \(\displaystyle{x-\textrm{sin }x=\frac{x^3}{6}+x^3\epsilon_1(x)}\) et \(\displaystyle{x-\textrm{tan }x=-\frac{x^3}{3}+x^3\epsilon_2(x)}\) avec

\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\epsilon_2(x)=0}\)

D'où l'on déduit

\(\displaystyle{x-\textrm{sin }x\sim\frac{x^3}{6}\quad(x\rightarrow0)}\) et \(\displaystyle{x-\textrm{tan }x\sim-\frac{x^3}{3}\quad(x\rightarrow0)\)

Et donc \(\displaystyle{g(x)\sim-\frac{3x^3}{6x^3}}\) et \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}g(x)=-\frac{1}{2}}\)