Fonctions équivalentes au voisinage d'un point

Des limites classiques et de la transitivité de la relation d'équivalence, on déduit

\(\textrm{sin }x\sim\textrm{tan }x\sim\textrm{ln }(1+x)\sime^x-1\sim x\quad(x\rightarrow0)\)

\(\displaystyle{1-\textrm{cos }x\sim\frac{x^2}{2}\quad(x\rightarrow0)}\)

Si \(P\) est un polynôme, \(\displaystyle{P=\sum_{k=p}^na^kx^k}\) avec \(a_pa_n\ne0\) ; alors la fonction polynomiale correspondante vérifie :

si \(p=0\quad P(x)\sim a_0\), si \(p\ne0\quad P(x)\sim a_px^p\quad(x\rightarrow0)\)

Considérons à nouveau un polynôme \(\displaystyle{P=\sum_{k=p}^na_kx^k}\) avec \(a_pa_n\ne0\) ; alors

\(P(x)\sim a_nx^n\quad(x\rightarrow\pm\infty)\).

On constate donc qu'une fonction polynomiale non nulle est équivalente au voisinage de 0 à son monôme de plus bas degré et au voisinage de \(+\infty\) ou \(-\infty\) à son monôme de plus haut degré.