Fonctions de référence
A partir des exemples précédents, on remarque qu'il est naturel de comparer :
au voisinage de 0
une fonction infiniment petite aux fonctions monômes \(x\mapsto x^n\quad(n\ge1)\)
une fonction infiniment grande aux fonctions \(\displaystyle{x\mapsto\frac{1}{x^n}\quad(n\ge1)}\)
au voisinage de \(+\infty\) ou \(-\infty\)
une fonction infiniment grande aux fonctions monômes \(x\mapsto x^n\quad(n\ge1)\)
une fonction infiniment petite aux fonctions \(\displaystyle{x\mapsto\frac{1}{x^n}\quad(n\ge1)}\)
On dit que \(x\) est, au voisinage de 0 (resp de \(+\infty\) ou \(-\infty\)), l'infiniment petit (resp grand) principal. De même \(\displaystyle\frac{1}{x}}\) est au voisinage de 0 (resp de \(+\infty\) ou \(-\infty\)), l' infiniment grand (resp petit) principal. Ainsi, par exemple, pour une fonction infiniment petite au voisinage de 0, on cherche s'il existe un entier \(n\ge1\) et un réel \(k\) non nul tels que \(f(x)\sim kx^n\quad(x\rightarrow0)\). Quand la fonction a un développement limité à l'ordre \(n\) au voisinage de 0, on a immédiatement le résultat suivant :
Proposition :
Si une fonction \(f\) admet un développement limité à l'ordre \(n\) au voisinage de 0
\(\displaystyle{f(x)=\sum_{k=p}^na_kx^k+x^n\epsilon(x)}\) avec \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0\) et \(a_p\ne0\),
on a alors \(f(x)\sim a_px^p\quad(x\rightarrow0)\).
\(a_px^p\) premier terme non nul du développement limité s'appelle partie principale du développement limité de \(f\) au voisinage de 0.
Plus généralement, on cherche s'il existe des réels \(\alpha\) positif et \(k\) non nul tels que \(f(x)\sim k|x|^\alpha\quad(x\rightarrow0)\).
Remarque :
L'étude d'une fonction en un point \(x_0\) différent de 0 se ramène à une étude en 0 en posant \(h=x-x_0\).