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Fonctions de référence

A partir des exemples précédents, on remarque qu'il est naturel de comparer :

  • au voisinage de 0

    • une fonction infiniment petite aux fonctions monômes

    • une fonction infiniment grande aux fonctions

  • au voisinage de ou

    • une fonction infiniment grande aux fonctions monômes

    • une fonction infiniment petite aux fonctions

On dit que est, au voisinage de 0 (resp de ou ), l'infiniment petit (resp grand) principal. De même est au voisinage de 0 (resp de ou ), l' infiniment grand (resp petit) principal. Ainsi, par exemple, pour une fonction infiniment petite au voisinage de 0, on cherche s'il existe un entier et un réel non nul tels que . Quand la fonction a un développement limité à l'ordre au voisinage de 0, on a immédiatement le résultat suivant :

Proposition

Si une fonction admet un développement limité à l'ordre au voisinage de 0

avec et ,

on a alors .

premier terme non nul du développement limité s'appelle partie principale du développement limité de au voisinage de 0.

Plus généralement, on cherche s'il existe des réels positif et non nul tels que .

Remarque

L'étude d'une fonction en un point différent de 0 se ramène à une étude en 0 en posant .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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