Equivalence et opérations
La relation \(f\sim g\quad(x\rightarrow\omega)\) est une relation d'équivalence sur l'ensemble des fonctions définies au voisinage du point \(\omega\), on se préoccupe maintenant de sa compatibilité avec les opérations usuelles.
La situation est différente suivant les opérations : compatibilité pour le produit et, sous certaines conditions, pour le quotient, non compatibilité pour la somme et la composition.
On déduit de la définition :
Proposition :
La relation d'équivalence \(f\sim g\quad(x\rightarrow\omega)\) est compatible avec le produit des fonctions, ce qui signifie qu'on a l'implication
\(f\sim g\) et \(f_1\sim g_1\quad(x\rightarrow\omega) \Rightarrow ff_1\sim gg_1\quad(x\rightarrow\omega)\)
La relation d'équivalence \(f\sim g\quad(x\rightarrow\omega)\) est également compatible, lorsque les fonctions correspondantes ne s'annulent pas dans un voisinage épointé du point \(\omega\), avec le quotient des fonctions, ce qui signifie qu'on a l'implication :
\(f\sim g\) et \(\displaystyle{f_1\sim g_1\quad(x\rightarrow\omega)\Rightarrow\frac{f}{f_1}\sim\frac{g}{g_1}\quad(x\rightarrow\omega)\)
Attention :
La relation d'équivalence \(f\sim g\quad(x\rightarrow\omega)\) n'est pas compatible avec la somme des fonctions :
\(f\sim g\) et \(f_1\sim g_1\quad(x\rightarrow\omega)\Rightarrow f+f_1\sim g+g_1\quad(x\rightarrow\omega)\)
On a en effet : \(\textrm{sin }x\sim x\) et \(-x\sim-x\quad(x\rightarrow0)\) mais non \(\textrm{sin }x\sim0\).
Au fait que signifie \(f\sim0\quad(x\rightarrow\omega)\) ?
Cela signifie que la fonction \(f\) se confond, au voisinage de \(\omega\), avec la fonction nulle et ce n'est pas en ce sens que l'entendent les utilisateurs de cette formule qu'il faut éviter à tout prix.
Pour la composition des applications nous nous limitons au problème suivant :
Si deux fonctions \(f\) et \(g\) sont équivalentes au voisinage de \(\omega\) et si \(h\) est une fonction telle que \(h\bigcirc f\) et \(h\bigcirc g\) sont définies dans un voisinage (éventuellement épointé) de \(\omega\), alors a-t-on : \(h\bigcirc f\sim h\bigcirc g\quad(x\rightarrow\omega)\) ?
La réponse est non en général : ainsi, si \(h\) est la fonction exponentielle et si on considère les fonctions \(x\mapsto x^2+x\) et \(x\mapsto x^2\) on a :
\(x^2+x\sim x^2\quad(x\rightarrow+\infty)\) mais \(\displaystyle{\frac{e^{x^2+x}}{e^{x^2}}=e^x\rightarrow+\infty\).
Les fonctions \(x\mapsto x^2\) et \(x\mapsto x^2+x\) sont équivalentes mais il n'en est pas de même des fonctions \(x\mapsto e^{x^2+x}\) et \(x\mapsto e^{x^2}\).
En revanche, la fonction logarithme se "comporte bien" pour ce problème, comme le montre la proposition suivante.
Proposition :
Si \(f\) et \(g\) sont des fonctions qui prennent, au voisinage d'un point \omega, leurs valeurs dans \(\mathbb R^*_+\) et vérifient pour \(x\) tendant vers \(\omega\)
soit \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=0}\) avec \(f\sim g\quad(x\rightarrow\omega)\)
soit \(f\rightarrow+\infty\) et \(g\rightarrow+\infty\) avec \(f\sim g\quad(x\rightarrow\omega)\)
alors \(\textrm{ln }f(x)\sim\textrm{ln }g(x)\quad(x\rightarrow\omega)\).
Preuve :
On écrit :
\(\displaystyle{\forall x\in W^*\quad\frac{\textrm{ln }f(x)}{\textrm{ln }g(x)}=\frac{\textrm{ln }\left(\frac{f(x)}{g(x)}g(x)\right)}{\textrm{ln }(g(x))}=\frac{\textrm{ln }\frac{f(x)}{g(x)}+\textrm{ln }g(x)}{\textrm{ln }(g(x))}=1+\frac{\textrm{ln }\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}{\textrm{ln }(g(x))}}\)
d'où \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\textrm{ln }(f(x))}{\textrm{ln }(g(x))}=1}\).