Propriétés des fonctions équivalentes au voisinage d'un point
Fonctions équivalentes au voisinage d'un point et limite en ce point
Intuitivement on pourrait penser que des fonctions équivalentes au voisinage d'un point prennent au voisinage de ce point des valeurs proches. Cela est parfois (et parfois seulement) le cas.
Proposition :
Si \(f\) et \(g\) sont des fonctions équivalentes au voisinage de \(\omega\) et si \(g\) a pour limite \(l\) en \(\omega\), alors \(f\) a pour limite \(l\) en \(\omega\).
C'est une conséquence immédiate de la définition. Ainsi \(f\) et \(g\) prennent au voisinage de \(\omega\), des valeurs voisines qui sont voisines de \(l\).
En revanche, quand \(f\) et \(g\) tendent vers l'infini, quand \(x\) tend vers \(\omega\), on peut avoir la situation illustrée par l'exemple suivant. On considère les fonctions
\(f : x\rightarrow x^2+x \); \(g : x\rightarrow x^2\).
On a \(f\sim g\quad(x\rightarrow+\infty)\) mais \(f(x)-g(x) = x\) d'où \(f-g\rightarrow+\infty\).
Les fonctions \(f\) et \(g\) sont équivalentes quand \(x\) tend \(+\infty\), mais ne prennent pas des valeurs proches.