Exercice n°2
Partie
Question
Calculer les développements limités à l’ordre 4 de :
\(x\mapsto e^x\) au voisinage de \(1\),
\(\displaystyle{\frac{\ln x}{x^2}}\) au voisinage de \(1\),
\(\tan x\) au voisinage de \(\displaystyle{\frac{\pi}{3}}\),
\(\sqrt x\) au voisinage de \(1\).
Aide simple
Voici la définition des développements limités en \(x_0\in\mathbb R\) ; on voit qu'elle généralise la définition 1 en \(0\), c'est-à-dire que si \(x_0=0\), on retrouve la même définition.
Soit \(f\) définie sur un voisinage pointé \(V^*(x_0)\) de \(x_0\in\mathbb R\). On dit que \(f\) possède un développement limité à l'ordre \(n\) en \(x_0\), s'il existe :
un polynôme \(P_n\) de degré inférieur ou égal à \(n\),
une fonction \(e\) définie sur \(V^*(x_0)\),
tels que : \(x\in V^*(x_0),~f(x)=P_n(x-x_0)+(x-x_0)^n\epsilon(x)\) et \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0}\).
Dans la pratique, pour étudier l'existence et pour fabriquer de tels développements limités, on effectue un changement de variable qui nous ramène en \(0\).
Plus précisément, on pose \(y=x-x_0\) et \(g(y)=f(y+x_0)\) ; la fonction \(g\) est définie sur un voisinage pointé de \(0\) et :
la fonction \(f\) possède un développement limité à l'ordre \(n\) en \(x_0\) si et seulement si la fonction \(g\) possède un développement limité à l'ordre \(n\) en \(0\);
si \(g(y)=P(y)+y^n\epsilon(y)\) est le développement limité à l'ordre \(n\) de \(g\) en \(0\),
alors \(f(x)=P(x-x_0)+(x-x_0)^n\epsilon(x-x_0)\) est le développement limité à l'ordre \(n\) de \(f\) en \(x_0\).
Solution détaillée
\(\displaystyle{e^x=e~\left(1+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{6}+\frac{(x-1)^4}{24}\right)+(x-1)^4\epsilon(x-1)}\),
\(\displaystyle{\frac{\ln x}{x^2}=(x-1)-\frac{5}{2}(x-1)^2+\frac{13}{3}(x-1)^3-\frac{77}{12}(x-1)^4+(x-1)^4\epsilon(x-1)}\),
\(\displaystyle{\tan x=\sqrt{3}+4\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+4\sqrt{3}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2+\frac{40}{3}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^3+\frac{44\sqrt{3}}{3}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^4-\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^4\epsilon\left(x-\frac{\pi}{3}\right)}\),
\(\displaystyle{\sqrt{x}=1+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{8}(x-1)^2+\frac{1}{16}(x-1)^3-\frac{5}{128}(x-1)^4+(x-1)^4\epsilon(x-1)}\).