Exercice n°6

Partie

Question

On suppose qu’il existe une fonction \(f\) de classe \(C^\infty\) au voisinage de \(0\) qui vérifie pour tout \(x\) dans ce voisinage :

\(x^7(f(x))^3+f(x)-x^8=0\)

Déterminer le développement de \(f\) au voisinage de zéro à l’ordre \(54\).

Aide simple

Pas de panique ! C’est par identification qu’on obtient ce développement, mais beaucoup de cœfficients sont nuls.

Rappel de cours

Formulaire

Les développements limités usuels à savoir par coeur sont les suivants :

\(\displaystyle{e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+x^n\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\textrm{sh }x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}+x^{2p+1}\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\textrm{ch }x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2p}}{(2p)!}+x^{2p}\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{p}\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}+x^{2p+1}\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^p\frac{x^{2p}}{(2p)!}+x^{2p}\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+x^{2n+1}\epsilon(x)}\).

\(\displaystyle{(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)~\cdots~(\alpha-n+1)}{n!}x^n+x^n\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\ln~(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+x^{n+1}\epsilon(x)}\),

\(\alpha\in\mathbb R\) et à chaque fois \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0}\).

Pour les apprendre et les retenir, il faut s'aider des propriétés de parité : \(\textrm{sh }x\) et \(\sin x\) sont impaires ; \(\textrm{ch }x\) et \(\cos x\) sont paires ; et cela se voit sur les cœfficients de leurs développements !

Il faut aussi penser à des contrôles simples : \(e^0=1\), et cela donne le premier terme du développement ; de même pour \((1+x)^a\). Comme \(\ln~(1+x)\) s'annule en \(0\), son terme constant est nul...

Quelles sont les fonctions dont le développement fait intervenir des factorielles, et quelles sont celles qui n'en ont pas ? etc.

Solution détaillée

On trouve \(f(x)=x^8-x^{31}+3x^{53}+x^{54}\epsilon(x)\).

Méthode

On cherche d’abord par identification le cœfficient du terme d’ordre le plus bas en posant \(f(x)=a_nx^n+x^n\epsilon(x)\) et en reportant dans l’équation. On constate que \(n=8\) et \(a_n=1\).

On recommence en cherchant le terme suivant en posant \(f(x)=x^8+a_px^p+x^p\epsilon(x)\). On trouve \(p=31\) et \(a_p=-1\).

Enfin en posant \(f(x)=x^8-x^{31}+a_qx^q+x^q\epsilon(x)\) et en identifiant on trouve \(q=53\) et \(a_{53}=3\).