Exercice n°5

Partie

Question

Soit \(f\) la fonction réelle définie par \(\left\{\begin{array}{||||}f(0)&=&0&\\f(x)&=&\displaystyle{x^3\sin\frac{1}{x}}&\textrm{si }x\ne0\end{array}\).

Montrer que \(f\) admet, au voisinage de \(0\), des développements limités d’ordres \(0\), \(1\) et \(2\), mais pas d’ordre supérieur ou égal à \(3\).

Rappel de cours

Formulaire

Les développements limités usuels à savoir par coeur sont les suivants :

\(\displaystyle{e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+x^n\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\textrm{sh }x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}+x^{2p+1}\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\textrm{ch }x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2p}}{(2p)!}+x^{2p}\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{p}\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}+x^{2p+1}\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^p\frac{x^{2p}}{(2p)!}+x^{2p}\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+x^{2n+1}\epsilon(x)}\).

\(\displaystyle{(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)~\cdots~(\alpha-n+1)}{n!}x^n+x^n\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\ln~(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+x^{n+1}\epsilon(x)}\),

\(\alpha\in\mathbb R\) et à chaque fois \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0}\).

Pour les apprendre et les retenir, il faut s'aider des propriétés de parité : \(\textrm{sh }x\) et \(\sin x\) sont impaires ; \(\textrm{ch }x\) et \(\cos x\) sont paires ; et cela se voit sur les cœfficients de leurs développements !

Il faut aussi penser à des contrôles simples : \(e^0=1\), et cela donne le premier terme du développement ; de même pour \((1+x)^a\). Comme \(\ln~(1+x)\) s'annule en \(0\), son terme constant est nul...

Quelles sont les fonctions dont le développement fait intervenir des factorielles, et quelles sont celles qui n'en ont pas ? etc.

Solution détaillée

\(\displaystyle{\frac{f(x)}{x^n}}\) tend vers \(0\) si \(n\le2\), mais \(\displaystyle{\frac{f(x)}{x^3}}\) n'a pas de limite quand \(x\) tend vers \(0\).