Exercice n°3

Partie

Question

Retrouver le développement limité à l’ordre \(7\), au voisinage de \(0\), de \(\tan h~x\), en utilisant :

  1. un produit \(\sin h~x(1+u(x))^\alpha\),

  2. une division de polynômes suivant les puissances croissantes,

  3. l'équation différentielle \(y'=1-y^2\).

Rappel de cours

Formulaire

Les développements limités usuels à savoir par coeur sont les suivants :

\(\displaystyle{e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+x^n\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\textrm{sh }x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}+x^{2p+1}\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\textrm{ch }x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2p}}{(2p)!}+x^{2p}\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{p}\frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!}+x^{2p+1}\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^p\frac{x^{2p}}{(2p)!}+x^{2p}\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+x^{2n+1}\epsilon(x)}\).

\(\displaystyle{(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)~\cdots~(\alpha-n+1)}{n!}x^n+x^n\epsilon(x)}\),

\(\displaystyle{\ln~(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+x^{n+1}\epsilon(x)}\),

\(\alpha\in\mathbb R\) et à chaque fois \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0}\).

Pour les apprendre et les retenir, il faut s'aider des propriétés de parité : \(\textrm{sh }x\) et \(\sin x\) sont impaires ; \(\textrm{ch }x\) et \(\cos x\) sont paires ; et cela se voit sur les cœfficients de leurs développements !

Il faut aussi penser à des contrôles simples : \(e^0=1\), et cela donne le premier terme du développement ; de même pour \((1+x)^a\). Comme \(\ln~(1+x)\) s'annule en \(0\), son terme constant est nul...

Quelles sont les fonctions dont le développement fait intervenir des factorielles, et quelles sont celles qui n'en ont pas ? etc.

Solution détaillée
  1. \(x^4+x+2=2+x+x^3\epsilon(x)\),

  2. \(\ln~(1+2x^3)=2x^3+x^3\epsilon(x)\),

  3. \(x^3(1+\tan x)=x^3+x^3\epsilon(x)\),

  4. \(e^{x^4}(x^3-x-1)=-1-x+x^3+x^3\epsilon(x)\),

  5. \(\displaystyle{\sin x\ln~(1+x)=x^2-\frac{x^3}{2}+\frac{x^4}{6}-\frac{x^5}{6}+x^5\epsilon(x)}\),

  6. \(\displaystyle{(1-x+x^2)^{\tfrac{3}{2}}=1-\frac{3}{2}x+\frac{15}{8}x^2-\frac{11}{16}x^3+\frac{27}{128}x^4+\frac{27}{256}x^5+x^5\epsilon(x)}\),

  7. \(\displaystyle{\frac{x^5+2x+1}{x^2+x+1}=1+x-2x^2+x^3+x^4-x^5+x^5\epsilon(x)}\),

  8. \(\displaystyle{e^{\cos x}=e~\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{6}\right)+x^5\epsilon(x)}\),

  9. \(\displaystyle{\arctan\frac{x}{1+x^2}=x-\frac{4x^3}{3}+\frac{11x^5}{5}+x^5\epsilon(x)}\),

  10. \(\displaystyle{(1+\sin x)^{\sqrt{\cosh x}}=1+x+\frac{x^3}{12}+\frac{x^4}{8}-\frac{41x^5}{480}+x^5\epsilon(x)}\).