Exemple 1 : Le R-espace vectoriel R2

DéfinitionDéfinition de l'ensemble

Le produit cartésien \(\mathbb R \times\mathbb R\) est noté \(\mathbb R^2\). C'est l'ensemble des couples \((x, y)\) avec \(x\) élément de \(\mathbb R\) et \(y\) élément de \(\mathbb R\) Ceci s'écrit :

\(\mathbb R^2 := \{(x,y); x \in \mathbb R, y \in \mathbb R\}\)

Remarque

l'écriture \((x, y)\) traduit traduit un ordre sur les éléments \(x\) et \(y\); \(x\) est la première composante du couple \((x, y)\), \(y\) est la seconde. Donc, si \(x\) est différent de \(y\), le couple \((x, y)\) est différent du couple \((y, x)\).

DéfinitionDéfinition de la loi interne

Si \((x, y)\) et \((x', y')\) sont deux éléments de \(\mathbb R^2\),

\((x,y) + (x', y') := (x + x' , y + y')\)

DéfinitionDéfinition de la loi externe

Si \(\alpha\) est un réel, et \((x, y)\) un élément de \(\mathbb R^2\)

\(\alpha(x,y) := (\alpha x , \alpha y)\)

ComplémentElément neutre de la loi interne

C'est le couple \((0, 0)\), où 0 désigne le zéro de \(\mathbb R\)

ComplémentSymétrique d'un élément

Le symétrique de \((x, y)\) est le couple \((-x, -y)\)