Exemple 3 : le R-espace vectoriel F(R,R)
Définition : Définition de l'ensemble
L'ensemble des fonctions de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) est noté \(F( \mathbb R, \mathbb R)\). Il peut être muni d'une structure de \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel de la manière suivante.
Définition : Définition de la loi interne
Soient \(f\) et \(g\) deux éléments de \(F( \mathbb R, \mathbb R)\). On doit donner un sens à \(f+g\); ce doit être un élément de \(F( \mathbb R, \mathbb R)\) c'est-à-dire une fonction de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\).
L'application \(f+g\) est donc définie en donnant l'image de tout élément réel \(x\) par \(f+g\), soit :
\(\forall x \in \mathbb R, (f\) + \(g)(x) := f(x) + g(x)\)
+ : loi interne de \(F( \mathbb R, \mathbb R)\)
+ : addition dans \(\mathbb R\)
Définition : Définition de la loi externe
De même, si \(\alpha\) est un nombre réel et \(f\) un élément de \(F( \mathbb R, \mathbb R)\), \(\alpha f\) doit être une fonction de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) Elle est définie dès qu'est donnée l'image de tout élément de \(\mathbb R\) soit :
\((\alpha f)(x) := \alpha f (x)\)
Pour mieux comprendre le sens de cette définition, désignons par un point la loi externe de \(F( \mathbb R, \mathbb R)\) et par une croix la multiplication dans \(\mathbb R\) :
\((\alpha \mathbf{.} f)(x) := \alpha \times f(x)\)
Complément : Elément neutre de la loi interne
C'est l'application de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) définie par :
\(\forall x \in \mathbb R, f(x) := 0\)
C'est la fonction nulle, qu'il est difficile de noter \(0\)
(car alors, on serait en droit d'écrire \(0(0) = 0\), ce qui est difficile à décoder !).
Complément : Symétrique d'un élément f de F(R, R)
C'est l'application \(g\) de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) définie par :
\(\forall x \in \mathbb R, g(x) := -f(x)\)
Elle est notée \(-f\).