Exemple 3 : le R-espace vectoriel F(R,R)
Définition : Définition de l'ensemble

L'ensemble des fonctions de dans est noté . Il peut être muni d'une structure de vectoriel de la manière suivante.

Définition : Définition de la loi interne

Soient et deux éléments de . On doit donner un sens à ; ce doit être un élément de c'est-à-dire une fonction de dans .

L'application est donc définie en donnant l'image de tout élément réel par , soit :

+

+ : loi interne de

+ : addition dans

Définition : Définition de la loi externe

De même, si est un nombre réel et un élément de , doit être une fonction de dans  Elle est définie dès qu'est donnée l'image de tout élément de soit :

Pour mieux comprendre le sens de cette définition, désignons par un point la loi externe de et par une croix la multiplication dans :

Complément : Elément neutre de la loi interne

C'est l'application de dans définie par :

C'est la fonction nulle, qu'il est difficile de noter

(car alors, on serait en droit d'écrire , ce qui est difficile à décoder !).

Complément : Symétrique d'un élément f de F(R, R)

C'est l'application de dans définie par :

Elle est notée .

Légende :
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