Exemple 2 : Le R-espace vectoriel Rn

Cet exemple généralise l'exemple précédent.

DéfinitionDéfinition de l'ensemble

Si \(n\) est un entier supérieur ou égal à 2, le produit cartésien de \(n\) ensembles égaux à \(\mathbb R, \mathbb R \times \mathbb R \times ... \times \mathbb R\) est noté \(\mathbb R^{n}\). C'est l'ensemble des \(n\textrm{-uplets}\) \((x_1, x_2, ... , x_n)\) avec \(x_1, x_2, ... , x_n\) éléments de \(\mathbb R\). Ceci s'écrit :

\(\mathbb R^n :=\{(x_1, x _2, ..., x_n); \forall i, 1 \leq i \leq n, x_i \in \mathbb R\}\)

RemarqueRemarque 1

De même que dans l'exemple précédent, l'écriture \((x_1, x_2, ... , x_n)\) traduit un ordre sur les éléments \(x_i\) ; \(x_i\) est la \(i\textrm{-ème}\) composante du \(n\textrm{-uplet}\) \((x_1, x_2, ... , x_n)\).

RemarqueRemarque 2

Comme il est souvent impossible matériellement d'écrire tous les éléments d'un \(n\textrm{-uplet}\) (si \(n\) est grand), l'usage est de remplacer ceux que l'on n'écrit pas par trois points ' . . . '.

Ainsi par exemple \((x_1, x_2, ... , x_5)\) désigne le \(\textrm{5-uplet}\) \((x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)\); c'est un élément de \(\mathbb R^5\).

DéfinitionDéfinition de la loi interne

Si \((x_1, x_2, ... , x_n)\) et \((y_1, y_2, ... , y_n)\) sont deux éléments de \(\mathbb R^n\)

\((x_1, x_2, ... , x_n) + (y_1, y_2, ... , y_n) := (x_1 + y_1, x_2 + y_2,..., x_n + y_n)\)

DéfinitionDéfinition de la loi externe

Si \(\alpha\) est un réel, et \((x_1, x_2, ... , x_n)\) un élément de \(\mathbb R^n\)

\(\alpha (x_1, x_2, ... , x_n) := (\alpha x_1, \alpha x_2, ... , \alpha x_n)\)

ComplémentElément neutre de la loi interne

C'est le \(n\textrm{-uplet}\) dont toutes les composantes sont égales au zéro de \(\mathbb R\), soit \((0, 0, ... , 0)\).

ComplémentSymétrique d'un élément

Le symétrique de \((x_1, x_2, ... , x_n)\) est le \(n\textrm{-uplet}\) \((-x_1, -x_2, ... , -x_n)\)

Définition analogue pour \(\mathbb C^2\) et plus généralement \(\mathbb C^n\), espaces vectoriels sur \(\mathbb C\).