Exemple 5 : le R-espace vectoriel des fonctions polynômes réelles
Définition : Définition de l'ensemble

Une fonction polynôme sur est une fonction de dans telle qu'il existe un entier , et éléments de tels que :

On note l'ensemble des fonctions polynômes sur .

Définition : Définition des lois

La définition de la loi interne et de la loi externe est la même que dans l'exemple 3 .

Complément : Elément neutre de la loi interne

C'est la fonction nulle, définie dans l'exemple 3 , qui est la fonction polynôme pour laquelle tous les coefficients sont nuls.

Complément : Symétrique d'un élément f de P

C'est l'application définie dans l'exemple 3 .

Si est définie par les coefficients :

est la fonction polynôme définie par les coefficients :

Remarque : Remarque importante : attention

Soit l'ensemble des applications de dans de la forme : avec non nul.

La somme, au sens de l'exemple 3 , de deux éléments de peut ne pas être un élément de .

Par exemple soit et deux éléments de définis respectivement par :

Alors, la fonction est la fonction qui n'appartient pas à (le coefficient de est nul). On ne peut donc pas définir sur l'ensemble une structure d'espace vectoriel avec les lois de l'exemple 3 .

Légende :
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