Cas de deux sous-espaces

ThéorèmeStructure de l'intersection de deux sous-espaces

Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel ; l'intersection de deux sous-espaces vectoriels de \(E\) est un sous-espace vectoriel de\( E\).

Preuve

Soit \(F_1\) et \(F_2\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\). L'intersection \(F_1 \cap F_2\) n'est pas vide car \(0_E\) appartient à \(F_1\) et \(F_2\) (car ce sont des sous-espaces vectoriels de \(E\)).

Il suffit de montrer que \(F_1 \cap F_2\) est stable par combinaison linéaire de deux vecteurs :

Soient \(u\) et \(v\) deux vecteurs de \(F_1 \cap F_2\) et \(\alpha, \beta\) deux scalaires. \(u\) et \(v\) sont éléments de \(F_1\), et \(F_1\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), donc \(\alpha u + \beta v\) appartient à \(F_1\).

De même \(\alpha u + \beta v\) appartient à\( F_2\). Le vecteur \(\alpha u + \beta v\) appartient donc à \(F_1 \cap F_2\).

Exemple

Soit \(F\) le sous-ensemble de \(\mathbb R^3\) défini par :

\(F = \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 / x+ y + z = 0 \textrm{ et } x+y+2z =0 \}\)

L'ensemble \(F\) est l'intersection de \(F_1\) et \(F_2\) , les sous-ensembles de \(\mathbb R^3\) définis par :

\(F_1= \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 / x+ y + z = 0 \}\) et \(F_2= \{ (x, y, z) \in \mathbb R^3 / x+ y + 2z = 0 \}\)

Ce sont des sous-espaces de \(\mathbb R^3\) donc\( F = F_1 \cap F_2\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\).

Attention

La réunion de deux sous-espaces vectoriels de \(E\) n'est pas en général un sous-espace de \(E\) (cf. la ressource "Somme - Somme directe").