Cas de deux sous-espaces
Théorème : Structure de l'intersection de deux sous-espaces

Soit un vectoriel ; l'intersection de deux sous-espaces vectoriels de est un sous-espace vectoriel de .

Preuve

Soit et deux sous-espaces vectoriels de . L'intersection n'est pas vide car appartient à et (car ce sont des sous-espaces vectoriels de ).

Il suffit de montrer que est stable par combinaison linéaire de deux vecteurs :

Soient et deux vecteurs de et deux scalaires. et sont éléments de , et est un sous-espace vectoriel de , donc appartient à .

De même appartient à . Le vecteur appartient donc à .

Exemple

Soit le sous-ensemble de défini par :

L'ensemble est l'intersection de et , les sous-ensembles de définis par :

et

Ce sont des sous-espaces de donc est un sous-espace vectoriel de .

Attention

La réunion de deux sous-espaces vectoriels de n'est pas en général un sous-espace de (cf. la ressource "Somme - Somme directe").

Légende :
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