Cas général
Structure de l'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces

L'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces vectoriels de est un sous espace vectoriel de .

Preuve

Soit une famille de sous-espaces vectoriels de , l'intersection des éléments de est notée .

Si cette famille est indexée par l'ensemble d'indices , elle est alors notée et l'intersection des éléments de est notée .

La démonstration précédente se généralise aisément. est non vide car, pour tout de , est élément de .

Soient des éléments de et , deux scalaires; on a, pour tout indice de :

et appartiennent à est un sous-espace vectoriel de donc appartient à .

Par conséquent appartient à , et on a ainsi établi que est un sous-espace vectoriel de .

La démonstration, dans le cas où la famille n'est pas indexée, s'écrit de manière encore plus simple : elle est laissée à titre d'exercice.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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