Lien avec la notion de sous-espace vectoriel engendré par une partie
Construction d'un sous-espace vectoriel engendré par une partie

Soit une partie quelconque d'un espace vectoriel . Il existe des sous-espaces vectoriels contenant , par exemple lui-même.

Soit l'ensemble des sous-espaces vectoriels contenant . Alors le sous-espace vectoriel engendré par est égal à l'intersection des éléments de , soit

Preuve

est un sous-espace vectoriel de , il contient , il est inclus dans tout sous-espace vectoriel contenant : c'est donc le plus petit sous-espace vectoriel de contenant .

Remarque : pour les étudiants connaissant la théorie des groupes :

Cette caractérisation du sous-espace vectoriel engendré par une partie, est semblable à celle qui a été vue pour le sous-groupe engendré par une partie.

Légende :
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