Définition et théorème fondamental
Définition :
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(\mathbf K\).
Une base finie de \(E\) est un \(n\textrm{-uplet}\) d'éléments de \(E\) \((v_1, v_2, ... , v_n)\), où \(n\) est un entier supérieur ou égal à \(1\), vérifiant les deux conditions suivantes :
\((1)\) La partie \(\{ v_1, v_2, ..., v_n\}\) est une partie génératrice de \(E\).
\((2)\) La partie\( \{ v_1, v_2, ..., v_n\}\) est une partie libre.
Remarque : Remarque 1
Il existe une notion de base infinie. Mais cela sort du cadre de ce cours où ne sera traitée que la notion de base finie.
Remarque : Remarque 2
Il faut observer que la définition donnée introduit un ordre sur les vecteurs d'une base puisque une base est d'abord un \(n\textrm{-uplet}\).
Soit \(B = (v_1, v_2, ..., v_n)\) une base de \(E\). Il est clair que si l'on change l'ordre des vecteurs,
c'est-à-dire si l'on considère\( (v_{\sigma (1)}, v_{\sigma (2)}, ..., v_{\sigma (n)})\) où \(\sigma\) est une bijection de \(\{ 1,2, ..., n\}\) dans \(\{ 1,2, ..., n\}\), les deux conditions \((1)\) et \((2)\) sont évidemment satisfaites puisque
\(\{v_{\sigma (1)}, v_{\sigma (2)}, ..., v_{\sigma (n)}\} = \{ v_1, v_2, ..., v_n\}\).
Alors\( (v_{\sigma (1)}, v_{\sigma (2)}, ..., v_{\sigma (n)})\) est une base de \(E\) mais elle est différente de \(B\) si \(\sigma\) est différente de l'identité, puisque les deux \(n\textrm{-uplets}\) \((v_1, v_2, ..., v_n)\) et \((v_{\sigma (1)}, v_{\sigma (2)}, ..., v_{\sigma (n)})\) sont différents.
L'importance de l'ordre sera visible lorsque on étudiera la notion de matrice associée à une application linéaire.
Complément : Vocabulaire et Commentaire
Soient \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(\mathbf K\) et \(\{v_1, v_2, ..., v_n\}\) une famille de vecteurs de \(E\).
Si \((v_1, v_2, ..., v_n)\) est une base, on dira que la partie \(\{v_1, v_2, ..., v_n\}\) détermine cette base.
Souvent dans la littérature mathématique, il y a confusion entre la base \((v_1, v_2, ..., v_n)\) et la partie \(\{v_1, v_2, ..., v_n\}\) qui la détermine.
Remarque : Remarque 3
Une partie libre ne pouvant contenir le vecteur nul, les éléments d'une base ne sont jamais nuls.
Compte tenu de ce qui a été vu dans le cours sur les familles génératrices et sur les familles libres, il est possible de traduire immédiatement la définition. En effet, il a été vu que :
\(\{v_1, v_2, ..., v_n\} \mathrm{ engendre }E \Leftrightarrow E = \mathbf K v_1 + \mathbf Kv_2 + ... \mathbf Kv_n\)
\(\{v_1, v_2, ..., v_n\} \mathrm{ libre } \Leftrightarrow \mathbf K v_1 + \mathbf Kv_2 + ... + \mathbf Kv_n = \mathbf Kv_1 \oplus \mathbf Kv_2 \oplus ... \oplus \mathbf K v_n\)
Cela permet d'énoncer le théorème fondamental suivant :
Théorème :
Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(v_1, v_2, ..., v_n\) , \(n\) vecteurs de \(E\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
Le \(n\textrm{-uplet}\) \((v_1, v_2, ..., v_n)\) est une base de \(E\).
\(E = \mathrm{K }v_1 \oplus \mathrm{K }v_2 \oplus ... \oplus \mathbf Kv_n\).
Tout vecteur de \(E\) s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs\( v_1, v_2, ..., v_n\) ; c'est-à-dire que pour tout vecteur \(v\) de \(E\), il existe un \(n\textrm{-uplet}\) unique \((\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_n)\) de \(\mathbf K^n\) tel que \(v = \alpha_1 , v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n\).
Complément : Commentaires
La propriété (3.) signifie que l'application
\(\mathbf K^n \to E\)
\((\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_n) \mapsto \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n\)
est une bijection. C'est en fait un "paramétrage" des éléments de \(E\) par des paramètres scalaires. Il est alors clair qu'il est nécessaire d'avoir un \(n\textrm{-uplet}\) de vecteurs de \(E\) comme systéme de référence.
Complément : Vocabulaire
Si \(v\) s'écrit \(v = x_1 v_1 + x_2 v_2 + ... + x_nv_n\), les scalaires \(x_i\) s'appellent les coordonnées de \(v\) dans la base \((v_1, v_2, ..., v_n)\)
Attention :
de bien se situer : le \(n\textrm{-uplet}\) \((v_1, v_2, ..., v_n)\) est un élément de \(E^n\), le \(n\textrm{-uplet}\) \((x_1, x_2, ... , x_n )\) est un élément de \(K^n\)