Définition et théorème fondamental
Définition

Soit un espace vectoriel sur un corps .

Une base finie de est un d'éléments de , où est un entier supérieur ou égal à , vérifiant les deux conditions suivantes :

La partie est une partie génératrice de .

La partie est une partie libre.

Remarque : Remarque 1

Il existe une notion de base infinie. Mais cela sort du cadre de ce cours où ne sera traitée que la notion de base finie.

Remarque : Remarque 2

Il faut observer que la définition donnée introduit un ordre sur les vecteurs d'une base puisque une base est d'abord un .

Soit une base de . Il est clair que si l'on change l'ordre des vecteurs,

c'est-à-dire si l'on considère est une bijection de dans , les deux conditions et sont évidemment satisfaites puisque

.

Alors est une base de mais elle est différente de si est différente de l'identité, puisque les deux et sont différents.

L'importance de l'ordre sera visible lorsque on étudiera la notion de matrice associée à une application linéaire.

Complément : Vocabulaire et Commentaire

Soient un espace vectoriel sur un corps et une famille de vecteurs de .

Si est une base, on dira que la partie détermine cette base.

Souvent dans la littérature mathématique, il y a confusion entre la base et la partie qui la détermine.

Remarque : Remarque 3

Une partie libre ne pouvant contenir le vecteur nul, les éléments d'une base ne sont jamais nuls.

Compte tenu de ce qui a été vu dans le cours sur les familles génératrices et sur les familles libres, il est possible de traduire immédiatement la définition. En effet, il a été vu que :

Cela permet d'énoncer le théorème fondamental suivant :

Théorème

Soient un vectoriel et , vecteurs de . Les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. Le est une base de .

  2. .

  3. Tout vecteur de s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs ; c'est-à-dire que pour tout vecteur de , il existe un unique de tel que .

Complément : Commentaires

La propriété (3.) signifie que l'application

est une bijection. C'est en fait un "paramétrage" des éléments de par des paramètres scalaires. Il est alors clair qu'il est nécessaire d'avoir un de vecteurs de comme systéme de référence.

Complément : Vocabulaire

Si s'écrit , les scalaires s'appellent les coordonnées de dans la base

Attention

de bien se situer : le est un élément de , le est un élément de

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)