Sous espaces vectoriels supplémentaires de type fini
Le théorème suivant donne un procédé commode pour trouver effectivement des bases.
Théorème : Base d'une somme directe
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(\mathbf K\).
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\) tels que \(E = F \oplus G\).
On suppose que \(F\) et \(G\) sont de type fini.
Soient \(B_F = (a_1, a_2, ... , a_r)\) une base de \(F\) et \(B_G = (b_1, b_2, ... , b_s)\) une base de \(G\).
Alors \(E\) est de type fini et \((a1, a_2, ... , a_r, b_1, b_2, ... ,b_s)\) est une base de \(E\).
Preuve :
Comme \(E\) est somme directe de \(F\) et de \(G\), tout élément \(x\) de \(E\) s'écrit (de manière unique) comme somme d'un élément \(y\) de \(F\) et d'un élément \(z\) de \(G\), soit \(x = y + z\).
D'après la définition de la notion de base, il existe des scalaires \(\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_r\) tels que :
\(y = \alpha_1 a_1 + \alpha_2a_2 + ... +\alpha_ra_r\)
et des scalaires
\(\beta_1, \beta_2, ... , \beta_s\) tels que :
\(z = \beta_1b_1 + \beta_2 b_2 + ... + \beta_s b_s\)
Alors l'égalité \(x = y + z\) implique l'égalité :
\(x = \alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 + ... + \alpha_r a_r + \beta_1 b_1 + \beta_2 b_2 + ... + \beta_sb_s\)
Ce qui prouve que \(a_1, a_2, ... , b_1, b_2, ... , b_s\) est une famille génératrice de \(E\). L'espace vectoriel est donc de type fini puisque il existe une famille génératrice finie de \(E\).
Il reste à montrer que \(a_1,a_2, ... , a_r, b_1, b_2, ... , b_s\) est une partie libre.
Soient donc \(\lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_r, \mu_1, \mu_2, ... , \mu_s\) des scalaires tels que :
\(\lambda_1a_1 + \lambda_2a_2 + ... + \lambda_r a_r + \mu_1b_1 + \mu_2b_2 + ... + \mu_sb_s = 0\)
Cette égalité peut encore s'écrire :
\((\lambda_1a_1 + \lambda_2a_2 + ... + \lambda_r a_r )+ (\mu_1b_1 + \mu_2b_2 + ... + \mu_sb_s) = 0\)
d'où
\((\lambda_1a_1 + \lambda_2a_2 + ... + \lambda_r a_r )= -(\mu_1b_1 + \mu_2b_2 + ... + \mu_sb_s)\)
Or \((\lambda_1a_1 + \lambda_2a_2 + ... + \lambda_r a_r )\) est un élément de \(F\) et \((\mu_1b_1 + \mu_2b_2 + ... + \mu_sb_s)\) est un élément de \(G\).
Comme \(F \cap G = \{0\}\) , ces éléments sont nuls et on a :
\((\lambda_1a_1 + \lambda_2a_2 + ... + \lambda_r a_r ) = 0\)
\((\mu_1b_1 + \mu_2b_2 + ... + \mu_sb_s) = 0\)
Or les vecteurs \(a_1, a_2, ... , a_r\) sont libres, de même que les vecteurs \(b_1, b_2, ... , b_s\) , donc
\(\lambda_1a_1 + \lambda_2a_2 + ... + \lambda_r a_r = 0 \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_r = 0\)
\(\mu_1b_1 + \mu_2b_2 + ... + \mu_sb_s = 0 \Rightarrow \mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_s = 0\)
Ce qui achève la démonstration.
Remarque : Remarque 1
Par abus de langage, on pourra dire que \((a_1, a_2, ... , a_r, b_1, b_2, ... , b_s)\) est la "réunion" des bases considérées.
Remarque : Remarque 2
Cette propriété se généralise au cas où \(E\) est somme directe d'un nombre fini \(n\) de sous-espaces vectoriels de type fini \(F_i\) :
Si, pour tout \(i\), \(1 \le i \le n\), \(B_i\) est une base de \(F_i\), alors la réunion des \(B_i\) est une base de \(E\).