Sous espaces vectoriels supplémentaires de type fini

Le théorème suivant donne un procédé commode pour trouver effectivement des bases.

Théorème : Base d'une somme directe

Soit un espace vectoriel sur un corps .

Soient et deux sous-espaces vectoriels de tels que .

On suppose que et sont de type fini.

Soient une base de et une base de .

Alors est de type fini et est une base de .

Preuve

Comme est somme directe de et de , tout élément de s'écrit (de manière unique) comme somme d'un élément de et d'un élément de , soit .

D'après la définition de la notion de base, il existe des scalaires tels que :

et des scalaires

tels que :

Alors l'égalité implique l'égalité :

Ce qui prouve que est une famille génératrice de . L'espace vectoriel est donc de type fini puisque il existe une famille génératrice finie de .

Il reste à montrer que est une partie libre.

Soient donc des scalaires tels que :

Cette égalité peut encore s'écrire :

d'où

Or est un élément de et est un élément de .

Comme , ces éléments sont nuls et on a :

Or les vecteurs sont libres, de même que les vecteurs , donc

Ce qui achève la démonstration.

Remarque : Remarque 1

Par abus de langage, on pourra dire que est la "réunion" des bases considérées.

Remarque : Remarque 2

Cette propriété se généralise au cas où est somme directe d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels de type fini  :

Si, pour tout , , est une base de , alors la réunion des est une base de .

Légende :
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