Exemples

La plupart d'entre eux ont été déjà cités dans les ressources concernant les notions de partie génératrice finie ou de famille libre.

Exemple : Exemple 1

Soient les vecteurs et ; alors est une base de .

Exemple : Exemple 2

Soient les vecteurs

(toutes les composantes de sont nulles sauf la i-ème qui est égale à 1) ; alors est une base de appelée la base canonique de .

Un élément de s'écrit dans la base canonique sous la forme :

ce qui signifie que la i-ème composante de est égale à la coordonnée de dans la base canonique. Le des coordonnées de dans la base canonique est égal à ; cela justifie la dénomination de "base canonique".

Exemple : Exemple 3

. Soient les vecteurs et ; alors est une base de .

Cet exemple prouve qu'il peut avoir des bases différentes sur un même espace vectoriel. Cependant, une remarque peut être faite : les deux bases ont chacune deux éléments.

Si et sont les coordonnées d'un vecteur de dans la base canonique , s'écrit : (cela résulte immédiatement de la démonstration).

Démonstration

Il s'agit donc de démontrer que les vecteurs et sont linéairement indépendants et engendrent .

Soient et deux réels tels que . Alors ils sont solutions du système :

Ce système n'a que le couple comme solution.

Donc implique que et . La famille est donc libre.

Montrons qu'elle engendre .

Soit un élément de . Il s'agit de trouver des scalaires et tels que

. L'existence de et équivaut à l'existence d'une solution au système :

Il est immédiat que, pour tout réel et , ce système admet une solution qui est

Ceci achève la démonstration.

Exemple : Exemple 4

, l'espace vectoriel réel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à n. Soient les fonctions , , définies de la manière suivante : . Alors est une base de appelée souvent base canonique de .

Supposons .

Donnons un exemple de recherche de coordonnées d'un élément de dans sa base canonique.

Soit . Alors f s'écrit : .

Le triplet des coordonnées de f dans la base est donc .

Soient les éléments de définis par :

est une base de (cela résulte immédiatement de la remarque 2 de la page précédente). La fonction polynôme s'écrit dans cette nouvelle base :

Donc le -uplet des coordonnées de dans la base est

Cela illustre bien l'importance de l'ordre introduit sur les vecteurs d'une base.

Démonstration

Il s'agit donc de démontrer que la famille engendre et est libre. On sait qu'une fonction polynôme sur de degré inférieur ou égal à est une fonction de dans telle qu'il existe éléments , de tels que :

Cela signifie que si est un élément de l'espace vectoriel , il existe éléments de tels que :

Donc la famille engendre .

Il a déjà été démontré dans les exercices guidés illustrant le cours "Dépendance et indépendance linéaire" que cette famille était libre. D'où le résultat.

Exemple : Exemple 5

considéré comme un vectoriel.

Soient les vecteurs et avec . Alors est une base de .

Exemple : Exemple 6

considéré comme un vectoriel.

Soient les vecteurs et avec nombre complexe non réel. Alors est une base de .

Démonstration

Il s'agit donc de démontrer que la famille engendre le vectoriel et qu'elle est libre.

Le nombre complexe peut s'écrire et sont deux nombres réels, avec non nul. Cela permet d'écrire le nombre complexe i sous la forme .

Alors, un nombre complexe quelconque ( réels) s'écrit :

soit avec et réels.

Donc engendre le vectoriel .

De plus cette famille est libre : en effet soient deux réels et

tels que . Cela équivaut à l'égalité qui est équivalente au système :

dont les solutions sont et .

Ceci achève la démonstration.

Exemple : Exemple 7

Tout élément non nul de est une base de . En effet, si est un élément non nul de , tout élément de peut s'écrire . Dans cette égalité joue le rôle d'un scalaire. Ceci prouve que engendre considéré comme un vectoriel. Comme est un élément non nul de  est une partie libre d'où le résultat.

Si est un corps infini (par exemple ou ), cet exemple prouve qu'il peut y avoir une infinité de bases sur un même espace vectoriel.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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