Matrice symétrique associée à une forme quadratique par rapport à la base canonique

Soit une forme quadratique sur Il existe donc éléments de , tels que

On peut réordonner les termes de cette expression en mettant en évidence les termes « carrés » c'est-à-dire de la forme et les termes « rectangles » c'est-à-dire de la forme avec . Le coefficient du terme est ; celui du terme est , et celui de est . Bien évidemment ces deux derniers termes peuvent être regroupés ce qui permet d'écrire :

On introduit les scalaires définis pour tout couple appartenant à par :

Ils vérifient en particulier les relations :

Alors :

Sur l'exemple on a

Dans toute la suite c'est cette expression d'une forme quadratique qui sera utilisée, à cause de la symétrie des coefficients c'est-à-dire de la propriété :

Il résulte de tout ce qui précède qu'une forme quadratique est entièrement caractérisée par les coefficients , et donc par la matrice carrée d'ordre dont le terme général est On peut donc énoncer la définition suivante :

Théorème : Théorème-Définition : Matrice symétrique associée à une forme quadratique par rapport à une base

Soit une forme quadratique sur définie pour tout de par :

On définit pour les couples tels que , les scalaires par :

Alors la matrice de terme général est une matrice symétrique, c'est-à-dire :

On dit que c'est la matrice associée à par rapport à la base canonique de .

L'introduction ici de la base canonique de est due au double rôle tenu par les réels pour un

D'une part ce sont les composantes de et d'autre part ce sont les coordonnées de dans la base canonique puisque :

Exemple

Reprenons l'exemple précédent. Soit la forme quadratique définie pour tout

de par

Ci-après une version animée de cette étape

La matrice qui lui est associée dans la base canonique est

Légende :
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