Généralités sur les formes bilinéaires et les formes quadratiques

Soit \(A \in M_{n}(\mathbb{R})\) une matrice symétrique de terme général \(a_{i,j}\). Alors l'application de \(\mathbb{R}^{n}\) dans \(\mathbb{R}\) définie pour tout \(x = (x_{1},x_{2},. . . , x_{n})\) par \(q(x) = \displaystyle {\sum_{i=1}^{i=n}a_{i,i}x_{i}^{2} }+  2 \displaystyle {\sum_{1 \le i < j \le n}} a_{i,j} x_{i}x_{j}\) est une forme quadratique sur \(\mathbb{R}^{n}\) dont la matrice associée dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{n}\) est la matrice \(A.\)

1. L'ensemble \(Q(\mathbb{R}^{n})\) des formes quadratiques sur \(\mathbb{R}^{n}\) a une structure d'espace vectoriel pour les opérations :

   \(\begin{array}{ccccc}&& \mathbb{R}^{n} &\to & \mathbb{R}\\q_{1} + q_{2} &:& x &\mapsto & q_{1}(x) + q_{2}(x)\\\lambda q &:& x &\mapsto &\lambda q(x)\end{array}\)

2. Soit \(M_{sym,n}(\mathbb{R})\) l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles d'ordre \(n.\)

   Soit \(\Psi\) l'application de \(Q(\mathbb{R}^{n})\) dans \(M_{sym,n}(\mathbb{R})\) qui, à une forme quadratique \(q\) fait correspondre sa matrice dans la base canonique. Cette application vérifie les propriétés suivantes :

   i. C'est une bijection.

   ii. L'application \(\Psi\) vérifie les deux propriétés :

   • \(\forall (q,q') \in Q(\mathbb{R}^{n}) \times Q(\mathbb{R}^{n}) , \Psi (q+q') = \Psi (q) + \Psi (q')\)

   • \(\forall q \in Q(\mathbb{R}^{n}) , \forall \lambda \in \mathbb{R} ~\Psi (\lambda q) = \lambda \Psi (q)\)

L'espace vectoriel \(Q(\mathbb{R}^{n})\) est donc isomorphe à l'espace vectoriel \(M_{sym,n}(\mathbb{R})\) des matrices carrées symétriques d'ordre \(n\) à coefficients dans \(\mathbb{R}.\)