Formule de changement de base

La question qui se pose immédiatement est la suivante :

que se passe-t-il si au lieu de considérer la base canonique sur , on considère une autre base de ?

Soient donc la base canonique de , une autre base de et la matrice de passage de à .

On peut écrire sous la forme , et considérer la matrice colonne

Les formules de changement de base donnent la relation ; cela donne

, donc une expression de la forme

avec

Si l'on développe ce produit de matrices, il est simple de voir que le résultat obtenu est :

où les sont les coefficients de la matrice

De plus puisque est symétrique. Donc la matrice est symétrique.

On en déduit deux résultats :

Proposition

Soit une forme quadratique sur Alors, quelque soit la base de , est une expression polynômiale homogène de degré 2 par rapport aux composantes de sur cette base.

Cela permet aussi de définir la notion de matrice associée à une forme quadratique sur par rapport à n'importe quelle base de .

Proposition : Matrice associée à une forme quadratique dans une base quelconque et formule de changement de base

Si est une autre base de et si est la matrice de passage de la base canonique à en écrivant sous la forme il vient :

avec

La matrice est une matrice symétrique. On dit que est la matrice associée à dans la base

Remarque

Au départ la définition d'une forme quadratique sur fait jouer un rôle particulier à la base canonique. Mais le résultat qui vient d'être trouvé prouve qu'en fait la définition de forme quadratique qui a été donnée est intrinsèque, et qu'elle ne dépend pas de la base choisie.

C'est pourquoi tout ce qui vient d'être fait peut être généralisé à une espace vectoriel de type fini quelconque sur le corps des nombres réels ou sur le corps des nombres complexes.

Légende :
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