Formule de changement de base
La question qui se pose immédiatement est la suivante :
que se passe-t-il si au lieu de considérer la base canonique sur \(\mathbb{R}^{n}\), on considère une autre base de \(\mathbb{R}^{n}\)?
Soient donc \(B_{\textrm{R}^{n}} = (e_{1},e_{2},....,e_{n})\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{n}\), \(B'_{\textrm{R}^{n}} = (e'_{1},e'_{2},...,e'_{n})\) une autre base de\( \mathbb{R}^{n}\) et \(P\) la matrice de passage de \(B_{\textrm{R}^{n}}\) à \(B'_{\textrm{R}^{n}}\).
On peut écrire \(x\) sous la forme \(x = x'_{1}e'_{1} + x'_{2}e'_{2} + . . . + x'_{n}e'_{n}\), et considérer la matrice colonne \(X' = \displaystyle{\left(\begin{array}{cc} x'_{1} \\ \vdots \\ \\ x'_{n}\end{array}\right)}.\)
Les formules de changement de base donnent la relation \(X = P X'\); cela donne
\(q(x) = ~^{t}XAX = ~^{t}(PX')A(PX') = ~^{t}X'(~^{t}PAP)X'\), donc une expression de la forme
\(q(x) = (~^{t}X')A'(X')\) avec \(A' = ~^{t}PAP.\)
Si l'on développe ce produit de matrices, il est simple de voir que le résultat obtenu est :
\(q(x) = \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}} a'_{i,j} x'_{i}x'_{j}\)
où les \(a'_{i,j}\) sont les coefficients de la matrice \(A'.\)
De plus \(~^{t}A' = ~^{t}(~^{t}PAP) = ~^{t}P~^{t}AP = ~^{t}PAP\) puisque \(A\) est symétrique. Donc la matrice \(A'\) est symétrique.
On en déduit deux résultats :
Proposition :
Soit \(q\) une forme quadratique sur \(\mathbb{R}^{n}.\) Alors, quelque soit la base de \(\mathbb{R}^{n}\), \(q(x)\) est une expression polynômiale homogène de degré 2 par rapport aux composantes de \(x\) sur cette base.
Cela permet aussi de définir la notion de matrice associée à une forme quadratique sur \(\mathbb{R}^{n}\) par rapport à n'importe quelle base de \(\mathbb{R}^{n}\).
Proposition : Matrice associée à une forme quadratique dans une base quelconque et formule de changement de base
Si \(B'_{E} = (e'_{1}, e'_{2},...,e'_{n})\) est une autre base de \(\mathbb{R}^{n}\) et si \(P\) est la matrice de passage de la base canonique à \(B'_{E},\) en écrivant \(x\) sous la forme \(x = x'_{1}e_{1} + x'_{2}e_{2} + ... + x'_{n}e_{n},\) il vient :
\(q(x) = \displaystyle {\sum_{i=1}^{i=n}}a'_{i,i}{x'}_{i}^{2} + 2 \displaystyle {\sum_{1 \le i < j \le n}} a'_{i,j} x'_{i}x'_{j}\) avec \(A' = \big(a'_{i,j}\big) = ~^{t}PAP.\)
La matrice \(A'\) est une matrice symétrique. On dit que \(A'\) est la matrice associée à \(q\) dans la base \(B'_{E}.\)
Remarque :
Au départ la définition d'une forme quadratique sur \(\mathbb{R}^{n}\) fait jouer un rôle particulier à la base canonique. Mais le résultat qui vient d'être trouvé prouve qu'en fait la définition de forme quadratique qui a été donnée est intrinsèque, et qu'elle ne dépend pas de la base choisie.
C'est pourquoi tout ce qui vient d'être fait peut être généralisé à une espace vectoriel de type fini quelconque sur le corps des nombres réels ou sur le corps des nombres complexes.