Définitions
Position du problème

Nous avons remarqué que l'orthogonal de pour une forme bilinéaire symétrique est l'espace tout entier, , et cela est vrai quel que soit l'espace vectoriel considéré.

Par contre l'orthogonal de relativement à la forme bilinéaire symétrique , (ensemble des vecteurs de qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de ), dépend de la forme bilinéaire symétrique considérée.

Exemple
  • Soient et sa base canonique. Soit la forme bilinéaire symétrique définie pour tout et tout de par .

    L'orthogonal de relativement à est :

  • Soient et sa base canonique. Nous avons vu que l'orthogonal de relativement à la forme bilinéaire symétrique définie pour tout et tout de par , était .

  • Soient l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et la forme bilinéaire symétrique sur telle que .

    Soit un polynôme non nul de degré , alors . Donc . Par conséquent n'appartient pas à l'orthogonal de relativement à , donc .

Définition : Définition du noyau d'une forme bilinéaire symétrique ou d'une forme quadratique

Soient un vectoriel, une forme bilinéaire symétrique sur et la forme quadratique associée à .

On appelle noyau de (ou de ) l'orthogonal relativement à de l'espace vectoriel : .

Attention

Le noyau de n'est pas l'ensemble des vecteurs de tels que : dans l'exemple précédent de muni de , le vecteur n'appartient pas à , et pourtant on a .

Définition : Définition de forme bilinéaire symétrique dégénérée ou non degénérée, ou de forme quadratique dégénérée ou non degénérée

La forme bilinéaire symétrique (ou la forme quadratique ) est dite non dégénérée si le noyau de (ou de ) est réduit au vecteur nul : .

On dit que la forme bilinéaire symétrique ou la forme quadratique est dégénérée si le noyau de (ou de ) n'est pas réduit au vecteur nul : .

Les formes bilinéaires symétriques et précédentes sont non dégénérées, la forme bilinéaire symétrique est dégénérée.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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