Définitions
Position du problème
Nous avons remarqué que l'orthogonal de \(0_E\) pour une forme bilinéaire symétrique est l'espace \(E\) tout entier, \(\{0_E\}^\perp=E\) , et cela est vrai quel que soit l'espace vectoriel \(E\) considéré.
Par contre l'orthogonal de \(E\) relativement à la forme bilinéaire symétrique \(f\), (ensemble des vecteurs de \(E\) qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de \(E\)), dépend de la forme bilinéaire symétrique considérée.
Exemple :
Soient \(E=\mathbf R^3\) et \((e_1,e_2,e_3)\) sa base canonique. Soit \(f_1\) la forme bilinéaire symétrique définie pour tout \(x=(x_1,x_2,x_3)\) et tout \(y=(y_1,y_2,y_3)\) de \(E\) par \(f_1(x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3\).
L'orthogonal de \(E=\mathbf R^3\) relativement à \(f_1\) est :
\(\begin{array}{rcl}E^\perp&=&\{e_1,e_2,e_3\}^\perp\\&=&\{y\in\mathbf R^3/f_1(y,e_1)=f_1(y,e_2)=f_1(y,e_3)=0\}\\&=&\{y=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbf R^3/y_1=y_2=y_3=0)\}\\&=&\{0_E\}\end{array}\)
Soient \(E=\mathbf R^3\) et \((e_1,e_2,e_3)\) sa base canonique. Nous avons vu que l'orthogonal de \(E\) relativement à la forme bilinéaire symétrique \(f_2\) définie pour tout \(x=(x_1,x_2,x_3)\) et tout \(y=(y_1,y_2,y_3)\) de \(E\) par \(f_2(x,y)=x_1y_1-x_3y_3\), était \(E^\perp=\mathbf Re_2\).
Soient \(E=\mathbf R[X]\) l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et \(f_3\) la forme bilinéaire symétrique sur \(E\) telle que \(\displaystyle{f_3\left(\sum_{i=0}^na_iX^i,\sum_{j=0}^mb_jX^j\right)=\sum_{k=0}^{\min(n,m)}a_kb_k}\).
Soit \(\displaystyle{P=\sum_{i=0}^na_iX^i}\) un polynôme non nul de degré \(n\), alors \(f_3(P,X^n)=a_n\). Donc \(f_3(P,X^n)\neq 0\). Par conséquent \(P\) n'appartient pas à l'orthogonal de \(E\) relativement à \(f_3\), donc \(E^\perp=\{0_E\}\).
Définition : Définition du noyau d'une forme bilinéaire symétrique ou d'une forme quadratique
Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\) et \(q\) la forme quadratique associée à \(f\).
On appelle noyau de \(f\) (ou de \(q\)) l'orthogonal relativement à \(f\) de l'espace vectoriel \(E\) : \(E^\perp=\{x\in E/\forall y\in E, f(x,y)=0\}\).
Attention :
Le noyau de \(q\) n'est pas l'ensemble des vecteurs \(x\) de \(E\) tels que \(q(x)=0\): dans l'exemple précédent de \(E\) muni de \(f_2\), le vecteur \(u=(1,1,1)\) n'appartient pas à \(E^\perp=\mathbf Re_2\), et pourtant on a \(q(u)=f_2(u,u)=0\).
Définition : Définition de forme bilinéaire symétrique dégénérée ou non degénérée, ou de forme quadratique dégénérée ou non degénérée
La forme bilinéaire symétrique \(f\) (ou la forme quadratique \(q\)) est dite non dégénérée si le noyau de \(f\) (ou de \(q\)) est réduit au vecteur nul : \(E^\perp=\{0_E\}\).
On dit que la forme bilinéaire symétrique \(f\) ou la forme quadratique \(q\) est dégénérée si le noyau de \(f\) (ou de \(q\)) n'est pas réduit au vecteur nul : \(E^\perp\neq \{0_E\}\).
Les formes bilinéaires symétriques \(f_1\) et \(f_3\) précédentes sont non dégénérées, la forme bilinéaire symétrique \(f_2\) est dégénérée.