Proposition
Proposition : Caractérisation des sous-espaces isotropes, non isotropes et totalement isotropes
Soit E un K-espace vectoriel, f une forme bilinéaire symétrique sur E, F un sous-espace vectoriel de E.
Le sous-espace F est non isotrope pour f si et seulement si la restriction de la forme bilinéaire f à F est non dégénérée.
Le sous-espace F est totalement isotrope pour f si et seulement si la restriction de la forme bilinéaire f à F est l'application nulle.
Le sous-espace F est totalement isotrope pour f si et seulement si tout vecteur de F est isotrope pour f.
Remarque :
La partie (3) de la proposition montre que les sous-espaces totalement isotropes pour f sont les sous-espaces vectoriels contenus dans le cône isotrope de f.
Preuve :
On note \(g\) la forme bilinéaire symétrique définie sur \(F\) par la restriction de la forme bilinéaire \(f\) à \(F\).
La forme bilinéaire \(g\) est l'application de \(F\times F\) dans \(\mathbf K\) définie pour tout \(x\in F\) et \(y\in F\) par \(g(x,y)=f(x,y)\). Son noyau est :
\(N=\{x\times F/\forall y\in F, g(x,y)=0\}\),
et \(g\) est non dégénérée si et seulement si \(N=\{0_E\}\).
Le sous-espace \(F\) est non isotrope pour \(f\) si et seulement si \(F\cap F^\perp=\{0_E\}\). Or :
\(x\in F\cap F^\perp\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x\in F\\x\in F^\perp\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x\in F\\\forall y \in F, f(x,y)=0\end{array}\right.\)
donc \(F\cap F^\perp=\{x\in F/\forall y \in F, f(x,y)=0\}\)et, d'après la définition de \(g\), on a \(F\cap F^\perp = N\). Donc \(F\cap F^\perp=\{0_E\}\) si et seulement si \(N=\{0_E\}\) et par conséquent le sous-espace \(F\) est non isotrope pour \(f\) si et seulement si la forme bilinéaire \(g\) sur \(F\) est non dégénérée.
Le sous-espace \(F\) est totalement isotrope pour \(f\) si \(F\subset F^\perp\), c'est-à-dire si on a :
\(\forall x\in F,\forall y \in F : f(x,y)=0\).
Cela signifie que la forme bilinéaire \(f\) restreinte à \(F\) est nulle d'où le sous-espace \(F\) est totalement isotrope pour \(F\) si et seulement si la forme bilinéaire \(g\) est nulle sur \(f\).
Si le sous-espace \(F\) est totalement isotrope pour \(f\) alors tous les vecteurs de \(F\) sont isotropes pour \(f\). Réciproquement si tous les vecteurs de \(F\) sont isotropes pour \(f\), on a pour \(x\in F\) et \(y\in F\):
\(f(x,y)=\frac{1}{2}(f(x+y,x+y)-f(x,x)-f(y,y))=0\)
et la forme bilinéaire \(f\) restreinte à \(F\) est nulle. Ceci prouve, d'après 2, que le sous-espace \(F\) est totalement isotrope pour \(f\).