Proposition
Proposition : Caractérisation des sous-espaces isotropes, non isotropes et totalement isotropes

Soit E un K-espace vectoriel, f une forme bilinéaire symétrique sur E, F un sous-espace vectoriel de E.

  1. Le sous-espace F est non isotrope pour f si et seulement si la restriction de la forme bilinéaire f à F est non dégénérée.

  2. Le sous-espace F est totalement isotrope pour f si et seulement si la restriction de la forme bilinéaire f à F est l'application nulle.

  3. Le sous-espace F est totalement isotrope pour f si et seulement si tout vecteur de F est isotrope pour f.

Remarque

La partie (3) de la proposition montre que les sous-espaces totalement isotropes pour f sont les sous-espaces vectoriels contenus dans le cône isotrope de f.

Preuve

On note la forme bilinéaire symétrique définie sur par la restriction de la forme bilinéaire à .

  1. La forme bilinéaire est l'application de dans définie pour tout et par . Son noyau est :

    ,

    et est non dégénérée si et seulement si .

    Le sous-espace est non isotrope pour si et seulement si . Or :

    donc et, d'après la définition de , on a . Donc si et seulement si et par conséquent le sous-espace est non isotrope pour si et seulement si la forme bilinéaire sur est non dégénérée.

  2. Le sous-espace est totalement isotrope pour si , c'est-à-dire si on a :

    .

    Cela signifie que la forme bilinéaire restreinte à est nulle d'où le sous-espace est totalement isotrope pour si et seulement si la forme bilinéaire est nulle sur .

  3. Si le sous-espace est totalement isotrope pour alors tous les vecteurs de sont isotropes pour . Réciproquement si tous les vecteurs de sont isotropes pour , on a pour et :

    et la forme bilinéaire restreinte à est nulle. Ceci prouve, d'après 2, que le sous-espace est totalement isotrope pour .

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