Forme quadratique sur R3
Partie
Question
Soit \(f\) la forme bilinéaire symétrique sur \(\mathbf R^3\) définie pour tout \(x=(x_1,x_2,x_3)\) et tout \(y=(y_1,y_2,y_3)\) de \(\mathbf R^3\) par : \(f(x,y)=x_1y_1+2x_3y_3+2(x_1y_3+x_3y_1)+x_2y_3+x_3y_2\).
Écrire la matrice \(M\) associée à \(f\) dans la base canonique de \(\mathbf R^3\), puis en déduire le rang et le noyau de \(f\).
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbf R^3\) défini par : \(F=\{x\in \mathbf R^3/x_3=0\}\).
Déterminer \(F^\perp\) et \(F^\perp\cap F\). Que peut-on en conclure pour \(F\)?
Était-il possible, à la lecture de la matrice \(M\), de prévoir les résultats précédents ?
Aide méthodologique
2. Soit \(E\) un espace vectoriel sur \(\mathbf R\) ou \(\mathbf C\), \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\) et \(u_1,_2,...,u_p\) \(p\) vecteurs de \(E\).
Si \(F=Vect(\{u_1,_2,...,u_p\})\) alors \(F^\perp=\{u_1,_2,...,u_p\}^\perp\).
La détermination de \(F^\perp\) et de \(F^\perp\cap F\) permet de dire si le sous-espace vectoriel \(F\) est isotrope, non isotrope ou totalement isotrope. Pour cela, utiliser les définitions suivantes :
Le sous-espace de vectoriel \(F\) est isotrope pour \(f\) s'il existe un vecteur non nul de \(F\) qui est orthogonal à \(F\), c'est-à-dire si \(F^\perp\cap F\neq \{0\}\).
Le sous-espace vectoriel \(F\) est totalement isotrope pour \(f\) si tous les vecteurs de \(F\) sont orthogonaux à \(F\), c'est-à-dire si \(F\) est inclus dans \(F^\perp\)
3. A partir de la matrice \(M\) on peut écrire la matrice \(M'\) de la restriction de \(f\) au sous-espace vectoriel \(F\) dans une base de \(F\) et appliquer les résultats suivants :
Le sous-espace \(F\) est totalement isotrope pour \(f\) si et seulement si la restriction de \(f\) à \(F\) est nulle.
La matrice \(M\) permet aussi de connaître \(f(e_1,e_2)\) et \(f(e_2,e_2)\).
D'autre part la forme bilinéaire \(f\) étant non dégénérée, on a:
\(\dim F^\perp=\dim \mathbf R^3-\dim F\).
Aide à la lecture
1. Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini, \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E\) et \(M\) la matrice associée à \(f\) dans une base \(B\) de \(E\). Le rang de \(f\) est le rang de la matrice \(M\). Il ne dépend pas de la base choisie.
Le noyau de \(f\) est l'orthogonal relativement à \(f\) de l'espace vectoriel \(E\):
\(E^\perp=\{x\in E/\forall y\in E, f(x,y)=0\}\).
Solution détaillée
\(f(x,y)=x_1y_1+2x_3y_3+2(x_1y_3+x_3y_1)+x_2y_3+x_3y_2\).
La matrice \(M\) associée à \(f\) dans la base canonique de \(\mathbf R^3\) est : \(M=\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&0&1\\2&1&2\end{array}\right)\), \(\det M=-1\), le rang de \(f\) est égal à 3 et \(E^\perp=\{0\}\).
Soit \(B=(e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbf R^3\). Le sous-espace vectoriel \(F\) est engendré par les vecteurs \(e_1\) et \(e_2\), d'où : \(F^\perp=\{e_1,e_2\}^\perp\).
Soit \(x=(x_1,x_2,x_3)\)
\(f(x,e_1)=0\Leftrightarrow x_1+2x_3=0\) et \(f(x,e_2)=0\Leftrightarrow x_3=0\).
D'où \(x\in F^\perp \Leftrightarrow x_1=x_3=0\) et \(F^\perp=Vect(\{e_2\})\).
\(F^\perp\cap F=Vect(\{e_2\})\), \(F^\perp\cap F\neq \{0\}\), le sous-espace vectoriel \(F\) est isotrope pour \(f\) mais non totalement isotrope car \(F\) n'est pas inclus dans \(F^\perp\).
La matrice \(M\) associée à \(f\) dans la base canonique de \(\mathbf R^3\) est \(M=\left(\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&0&1\\2&1&2\end{array}\right)\).
La matrice \(M'\) de la restriction de \(f\) au sous-espace vectoriel \(F\) dans la base \((e_1 ,e_2)\) est \(M'=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right)\),
\(\det M'=0\), la restriction de \(f\) à \(F\) est dégénérée et donc le sous-espace vectoriel \(F\) est isotrope pour \(f\) mais non totalement isotrope car \(M'\neq\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right)\).
D'après la matrice \(M\), \(f(e_1,e_2)=f(e_2,e_2)=0\), d'où le vecteur \(e_2\) appartient à l'orthogonal de \(F\).
D'autre part la forme bilinéaire \(f\) étant non dégénérée, on a : \(\dim F^\perp=\dim \mathbf R^3-\dim F\) et donc \(\dim F^\perp=1\).
On retrouve le résultat : \(F^\perp=Vect(\{e_2\})\).