Étude d'une forme quadratique sur R3 ayant un seul sous-espace totalement isotrope associé

Partie

Question

Soit \(E\) l'espace vectoriel \(\mathbf R^3\) et \(q\) l'application de \(E\) dans \(R\) définie par :

\(q :x=(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1+x_2)^2+2(x_2-x_3)^2\)

  1. Montrer que \(q\) est une forme quadratique et déterminer la matrice associée par rapport à la base canonique \((e_i)_{1\le i\le 3}\).

  2. Déterminer l'orthogonal de \(E\) et en déduire le rang de \(q\).

  3. Trouver l'ensemble \(\mathcal J\) des vecteurs isotropes. Montrer que c'est un sous-espace vectoriel de \(E\).

  4. Montrer qu'il existe un seul sous-espace vectoriel totalement isotrope.

  5. Construire deux sous-espaces vectoriels de \(E\), isotropes, non totalement isotropes et de dimensions distinctes.

Aide simple

2. \(\mathrm{rang}(q)=\dim E-\dim E^\perp\)

3. Dans \(\mathbf R\) l'égalité \(a^2+2b^2=0\) équivaut à \(a=b=0\).

4. Rechercher les sous-espaces vectoriels contenus dans \(\mathcal J\) en utilisant la dimension.

5. Vérifier la propriété : tout sous-espace isotrope de dimension 1 est totalement isotrope.

Utiliser la propriété : tout sous-espace, contenant un vecteur non nul du noyau de \(q\), est isotrope.

Aide méthodologique

2. Si \(X\) est la matrice colonne des coordonnées, dans la base canonique, du vecteur \(x\) de \(E\), alors \(x\in E^\perp\) si et seulement si \(MX=0\).

3. Utiliser le fait que tous les scalaires sont des nombres réels.

4. Utiliser le théorème : Un sous-espace \(F\) est totalement isotrope si et seulement si \(F\neq \{0\}\) et \(F\subset \mathcal J\).

Aide à la lecture

Soit \(E=\mathbf R^3\), \(q\) une forme quadratique sur \(E\), on note \(f\) la forme bilinéaire symétrique associée à \(q\).

2. L'orthogonal de \(E\) pour \(q\), noté \(E^\perp\), est défini par l'égalité :

\(E^\perp=\{x\in E/\forall y\in E, f(x,y)=0\}\).

3. L'ensemble des vecteurs isotropes, appelé cône des isotropes, est défini par l'égalité :

\(\mathcal J=\{x\in E ; q(x)=0\}\).

4. Un sous-espace \(F\) est totalement isotrope si et seulement si \(F\neq\{0\}\) et \(F\subset F^\perp\).

5. Un sous-espace \(G\) est isotrope si et seulement si \(G\cap G^\perp \notin \{0\}\).

Solution détaillée
  1. En développant \(q(x)\), on obtient : \(q(x)={x_1}^2+3{x_2}^2+2{x_3}^2+2x_1x_2-4x_2x_3\).

    Comme \(q(x)\) est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées \(x_i\) de \(x\) dans la base canonique, \(q\) est une forme quadratique sur \(E\).

    La matrice associée à \(q\) dans la base canonique est \(M=\left(\begin{array}{rrr}1&1&0\\1&3&-2\\0&-2&2\end{array}\right)\).

  2. Recherche de l'orthogonal \(E^\perp\), c'est-à-dire du noyau de \(q\).

    Soit \(x=(x_1,x_2,x_3)\) alors

    \(\begin{array}{rcl}{x\in E^\perp \Leftrightarrow M\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=0 }&\Leftrightarrow& {\left\{\begin{array}{rrrrrrr}x_1&+&x_2&&&=&0\\ x_1&+&3x_2&-&2x_3&=&0 \\ &-&2x_2&+&2x_3&=&0\end{array}\right.}\\\\ &\Leftrightarrow& {\left\{\begin{array}{rrrrrrr}x_1&+&x_2&&&=&0\\ &&2x_2&-&2x_3&=&0 \\ &-&2x_2&+&2x_3&=&0\end{array}\right.}\\\\ &\Leftrightarrow& x=(x_1,-x_1,-x_1)\end{array}\),

    donc \(E^\perp=\mathbf R(e_1-e_2-e_3)\), droite vectorielle engendrée par le vecteur \(e_1-e_2-e_3=(1,-1,-1)\).

    De l'égalité \(\mathrm{rang}(q)=\dim(E)-\dim(E^\perp)\), on déduit \(\mathrm{rang}(q)=3-1\) et on conclut \(\mathrm{rang}(q)=2\).

    En particulier la forme quadratique \(q\) est dégénérée.

  3. L'ensemble des vecteurs isotropes, appelé cône des isotropes, est défini par l'égalité : \(\mathcal J=\{x\in E ; q(x)=0\}\),

    donc \(x\in \mathcal J (x_1+x_2)^2+2(x_2-x_3)^2=0\Leftrightarrow x_1+x_2=0~~\textrm{ et }~~x_2-x_3=0\).

    Ainsi \(x\in\mathcal J \Leftrightarrow x_1=-x_2~~\textrm{ et }~~x_2=x_3\Leftrightarrow x=(x_1,-x_1,-x_1)\).

    D'où \(\mathcal J=E^\perp=\mathbf R(e_1-e_2-e_3)\), c'est donc un sous-espace vectoriel de \(E\).

  4. Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\).

    D'après le cours, \(F\) totalement isotrope équivaut à \(F\neq \{0\}~~\textrm{ et }~~F\subset\mathcal J\).

    Or \(\mathbf J\) est un sous-espace vectoriel de dimension 1, il contient donc un seul sous-espace vectoriel non nul. \(\mathbf R(e_1-e_2-e_3)\) est l'unique sous-espace totalement isotrope.

  5. Tout d'abord quelques remarques :

    Un sous-espace isotrope n'est pas réduit à \(\{0\}\).

    Un sous-espace \(G\) isotrope de dimension 1 est totalement isotrope.

    En effet si \(\{0\}\subsetneq G\cap G^\perp \subset G\) et si \(\dim G=1\), alors le sous-espace non nul \(G\cap G^\perp\) coïncide avec \(G\). D'où \(G\subset G^\perp\) et \(G\) est totalement isotrope.

    Autre démarche : le sous-espace \(G\) étant de dimension 1 est engendré par un vecteur non nul \(u\), \(G=\mathbf Ru\); soit \(v\) un vecteur non nul de \(G\cap G^\perp\) alors \(v\) est un vecteur isotrope et tout vecteur de \(G\) est aussi isotrope. D'où \(G\subset \mathcal J\) et \(G\) est totalement isotrope.

    L'espace entier \(E\) vérifie \(E\cap E^\perp=E^\perp\) et \(E^\perp=\mathbf R(e_1-e_2-e_3)\) donc \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), isotrope, non totalement isotrope, de dimension 3.

    Il reste à trouver un sous-espace isotrope, de dimension 2. Il sera nécessairement non totalement isotrope car différent de \(\mathbf R(e_1-e_2-e_3)\).

    Il suffit de choisir un plan de la forme \(G=\mathbf R(e_1-e_2-e_3)+\mathbf Rv\) avec \(v\) linéairement indépendant de \(e_1-e_2-e_3\).

    Alors \(e_1-e_2-e_3\in G\cap E^\perp\) donc \(e_1-e_2-e_3\in G\cap G^\perp\) ainsi \(G\cap G^\perp\neq \{0\}\).

    Par exemple \(\mathbf R(e_1-e_2-e_3)+\mathbf Re_1\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), isotrope, non totalement isotrope, de dimension 2.