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Etude d'une forme quadratique sur R3 ayant plusieurs sous-espaces totalement isotropes associés

Enoncé

Soit l'espace vectoriel et l'application de dans définie par : .

  1. Montrer que est une forme quadratique et déterminer la matrice associée par rapport à la base canonique .

  2. Déterminer l'orthogonal de et en déduire le rang de .

  3. Trouver l'ensemble des vecteurs isotropes. Montrer que ce n'est pas un sous-espace vectoriel de .

    • Pour tout entier , étudier l'existence d'un sous-espace vectoriel totalement isotrope de dimension .

    • En déduire tous les sous-espaces vectoriels totalement isotropes.

  4. Construire deux sous-espaces vectoriels de , isotropes, non totalement isotropes et de dimensions distinctes.

Légende :
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