Hyperboloïde à une nappe de représentation paramétrique
Partie
Question
Quelles sont ses intersections avec
le plan \(z = 0 ?\)
un plan \(z = a, a\) étant une constante ?
est-ce une surface de révolution ? si oui, autour de quel axe ?
quelle est l'intersection avec le plan \(x = 0 ?\) avec le plan \(y = 0 ?\)
En donner une représentation implicite
quelles courbes obtient-on en coupant par un plan \(y = \alpha x\)
Le visualiser.
Solution détaillée
Ses intersections avec
le plan \(z = 0\) : le cercle centré sur \(Oz\) et de rayon \(1\).
un plan \(z = a, a\) étant une constante : un cercle centré sur \(Oz\) et de rayon \(\sqrt{1+a^2}.\)
Surface de révolution d'axe \(Oz.\)
Représentation implicite : \(x^2 + y^2 = 1 + z^2.\)
Courbes obtenues en coupant par un plan d'angle polaire \(\theta\) avec pour axes \(Or\) et \(Oz\) : des hyperboles d'équations \(r~^2 = 1 + z~^2\)
Le visualiser : il s'agit du même hyperboloïde à une nappe que dans le cas 2, mais engendré différemment.