Exercice 2
Durée : 6 mn
Note maximale : 4
Question
Étudier la nature de l'intégrale impropre \(\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{e^{t}+t^{2}e^{-t}}}\).
Au voisinage de chacune des bornes, utiliser un équivalent de la fonction.
Solution
L’intégrale est convergente.
La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{1}{e^x+x^2e^{-x}}}\) est continue donc localement intégrable sur l’intervalle \(]-\infty,+\infty[\) sur lequel elle est positive.
[0.5 point]
Quand \(x\) tend vers \(-\infty\), on a \(\displaystyle{\frac{1}{e^x+x^2e^{-x}}\sim\frac{e^x}{x^2}}\). On a pour \(x<0\) : \(\displaystyle{0<\frac{e^x}{x^2}<\frac{1}{x^2}}\), il y a convergence pour la borne \(-\infty\).
[1.5 point]
Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on a : \(\displaystyle{\frac{1}{e^x+x^2e^{-x}}\sim e^{-x}}\).
Il y a convergence pour la borne \(+\infty\).
[1.5 point]
Par suite, l’intégrale \(\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{e^t+t^2e^{-t}}}\) est convergente.
[0.5 point]