Exercice 4
Durée : 3 mn
Note maximale : 3
Question
Étudier la nature de l’intégrale impropre \(\displaystyle{I=\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan t}{t}dt}\).
Chercher un équivalent de la fonction à intégrer.
Solution
L’intégrale est divergente.
La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{\arctan x}{x}}\) est prolongeable par continuité à l’origine car \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\arctan x}{x}=1}\).
[1 point]
En revanche, quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on a \(\displaystyle{\frac{\arctan x}{x}\sim\frac{\pi}{2x}}\).
[1 point]
Par comparaison avec une intégrale de Riemann, l’intégrale \(I\) est donc divergente.
[1 point]