Exercice 3

Durée : 9 mn

Note maximale : 5

Question

Étudier la nature de l'intégrale impropre \(\displaystyle{\int_{\tfrac{2}{\pi}}^{+\infty}\ln\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\).

Séparer l’intégrale en deux car il y a un problème à chaque borne.

Solution

L’intégrale est convergente.

La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\ln\left(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)}\) est définie et continue sur l’intervalle ouvert \(\displaystyle{\left]\frac{2}{\pi},+\infty\right[}\) sur lequel elle est donc localement intégrable.

[0.5 point]

Quand \(x\) tend vers \(\displaystyle{\frac{2}{\pi}}\), elle tend vers \(-\infty\). Il est donc nécessaire d’étudier séparément les deux intégrales \(\displaystyle{\int_{\tfrac{2}{\pi}}^{1}\ln\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\) et \(\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}\ln\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\). Par ailleurs, la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\ln\left(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)}\) est négative sur \(\displaystyle{\left]\frac{2}{\pi},+\infty\right[}\).

[1 point].

  • Étude de \(\displaystyle{\int_{\tfrac{2}{\pi}}^1\ln\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\)

    Au voisinage de \(\displaystyle{\frac{2}{\pi}}\) on a :

    \(\displaystyle{\cos\left(\frac{1}{x}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{x}\right)\sim\frac{\pi}{2}-\frac{1}{x}}\)

    donc \(\displaystyle{\cos\left(\frac{1}{x}\right)\sim\frac{\pi}{2x}\left(x-\frac{2}{\pi}\right)}\).

    On en déduit : \(\displaystyle{\ln\left(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)\sim\ln\left(x-\frac{2}{\pi}\right)}\) quand \(x\) tend vers \(\displaystyle{\frac{2}{\pi}}\) (car \(\displaystyle{\ln\left(\frac{\pi}{2x}\right)}\) tend vers \(0\)) .

    Or, l'intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{1}\ln t~dt}\) est convergente, l'intégrale \(\displaystyle{\int_{\tfrac{2}{\pi}}^1\ln\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\) est donc convergente.

    [1.5 point]

  • Étude de l’intégrale \(\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}\ln\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\)

    Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on a : \(\displaystyle{\cos\left(\frac{1}{x}\right)=1-\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)}\) et donc \(\displaystyle{\ln\left(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)\sim-\frac{1}{2x^2}}\). La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\ln\left(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)}\) étant négative, et l'intégrale \(\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^2}}\) convergente, l'intégrale \(\displaystyle{\int_1^{+\infty}\ln\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\) est convergente.

    [1.5 point]

Conclusion : l’intégrale \(\displaystyle{\int_{\tfrac{2}{\pi}}^{+\infty}\ln\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\) est convergente.

[0.5 point]