Exemples de calcul d'intégrales impropres

L'intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{t^m\ln t}{(1+t+t^2)^4}dt}\) est convergente si et seulement si \(-1<m<7\).

Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \(]0,+\infty[\) par \(\displaystyle{f : x\mapsto\frac{x^m\ln x}{(1+x+x^2)^4}}\) . Étant continue sur \(]0,+\infty[\), la fonction \(f\) est localement intégrable sur cet intervalle.

On pose \(\displaystyle{J=\int_{0}^{1}\frac{t^m\ln t}{(1+t+t^2)^4}dt}\) et \(\displaystyle{K=\int_{1}^{+\infty}\frac{t^m\ln t}{(1+t+t^2)^4}dt}\). On étudie séparément les intégrales \(J\) et \(K\).

• Étude de \(J\)

  Quand \(x\) tend vers \(0\) la fonction \(f\) garde un signe constant négatif et on a \(f(x)\sim x^m\ln x\).

  • m>0, alors \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}x^m\ln x=0}\). La fonction \(f\) est prolongeable par continuité en \(0\). Il n'y a donc pas de problème de convergence.

  • \(m\le0\), en posant \(m'=-m\), on a \(\displaystyle{f(x)\sim\frac{\ln x}{x^{m'}}}\)

  • \(m'\ge1\). Comme \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln x}{x^{m'-1}}=-\infty}\), il existe \(\epsilon>0\) tel que pour tout \(x\in]0,\epsilon]\), \(\displaystyle{|f(x)|>\frac{1}{x}}\), et l'intégrale \(J\) est divergente.

  • \(m'<1\). Comme pour tout \(\alpha>0\), \(x^\alpha\ln x\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(0\), il existe \(\epsilon>0\) tel que pour tout \(x\in]0,\epsilon]\), \(\displaystyle{|\ln x|<\frac{1}{x^\alpha}}\), d'où \(\displaystyle{|f(x)|<\frac{1}{x^{\alpha+m'}}}\). On choisit \(\alpha\) tel que \(\alpha+m'<1\).

  Comme dans ce cas l'intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{\alpha+m'}}}\) est convergente, on déduit que l'intégrale \(J\) est convergente.

  L'intégrale \(J\) est convergente si et seulement si \(m>-1\).

• Étude de \(K\)

  Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), la fonction garde un signe constant positif et \(f(x)\sim x^{m-8}\ln x\).

  • \(m\ge7\), pour \(x\) assez grand on a : \(\displaystyle{f(x)\ge\frac{1}{x}}\); l'intégrale \(K\) est divergente ;

  • \(m<7\), pour tout \(\beta>0\) et tout \(x\) assez grand on a : \(\ln x<x^\beta\) d'où \(\displaystyle{f(x)<\frac{1}{x^{8-m-\beta}}}\). On choisit \(\beta\) tel que \(8-m-\beta>1\), et l'intégrale \(K\) est convergente.

Conclusion : l’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{t^m\ln t}{(1+t+t^2)^4}dt}\) est convergente si et seulement si \(-1<m<7\).

La fonction \(\displaystyle{f : t\mapsto\frac{\ln(1+t^m)}{t^p}}\) est définie et continue sur l’intervalle borné non fermé \(]0,1]\) sur lequel elle est donc localement intégrable. Étudions le problème éventuel en \(0\).

La fonction \(f\) est de signe constant.

Alors quand \(x\) tend vers \(0\)

• \(m>0\), \(\displaystyle{f(x)=\frac{\ln(1+x^m)}{x^p}\sim\frac{1}{x^{p-m}}}\), l’intégrale est convergente si \(p-m<1\), divergente sinon. (On remarque que pour \(p-m<0\), la fonction est prolongeable par continuité en 0 et il n’y a pas de problème réel de convergence).

• \(m=0\), \(\displaystyle{f(x)=\frac{\ln~2}{x^p}}\), l'intégrale est convergente si et seulement si \(p<1\) ;

• \(m<0\), \(\displaystyle{f(x)\sim\frac{\ln(x^m)}{x^p}}\), d'où \(\displaystyle{f(x)\sim\frac{m\ln x}{x^p}}\) ;

• \(p\ge1\), \(\displaystyle{|f(x)|>\frac{1}{x^p}}\), pour \(x\) assez petit, l'intégrale est divergente ;

• \(p<1\), on choisit \(\eta\) tel que \(p<\eta<1\), de sorte que \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^\eta\ln x}{x^p}=0}\) ;

  l'intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+t^m)}{t^p}dt}\) est donc convergente.

Conclusion : l’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+t^m)}{t^p}dt}\) est convergente si et seulement si les conditions (\(m\ge0\) et \(p-m<1\)) ou (\(m\le0\) et \(p<1\)) sont vérifiées.

Soit \(f\) la fonction : \(\displaystyle{x\mapsto\frac{e^{mx}}{x^p+x^qe^x}}\). La fonction \(f\) est définie et continue sur \(]0,+\infty[\) où elle est localement intégrable. De plus, elle est positive sur cet intervalle.

On pose \(\displaystyle{J=\int_0^1\frac{e^{mt}}{t^p+t^qe^t}dt}\) et \(\displaystyle{K=\int_1^{+\infty}\frac{e^{mt}}{t^p+t^qe^t}dt}\).

• Étude de \(J\)

  Quand \(x\) tend vers \(0\), \(\displaystyle{f(x)\sim\frac{1}{x^p}}\). L'intégrale \(J\) est convergente si et seulement si \(p<1\).

• Étude de \(K\)

  Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\displaystyle{f(x)\sim\frac{e^{(m-1)x}}{x^q}}\).

  • \(m>1\), \(f(x)\) tend vers \(+\infty\) quel que soit \(q\), et \(K\) est divergente ;

  • \(m=1\), \(\displaystyle{f(x)\sim\frac {1}{x^q}}\), \(K\) est convergente si \(q>1\), divergente sinon ;

  • \(m<1\), alors pour tout \(\alpha>0\) et tout \(x\) assez grand \(\displaystyle{e^{(m-1)x}<\frac{1}{x^\alpha}}\) d’où \(\displaystyle{\frac{e^{(m-1)x}}{x^q}<\frac{1}{x^{\alpha+q}}}\). En choisissant \(\alpha\) tel que \(\alpha+q>1\), on déduit que l’intégrale \(K\) est convergente quel que soit \(q\).

Conclusion : l’intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{e^{mt}}{t^p+t^qe^t}dt}\) est convergente si et seulement si les conditions (\(p<1\) et \(m<1\)) ou (\(p<1\) et \(m=1\) et \(q>1\)) sont vérifiées.