Exemples de calcul d'intégrales impropres

La fonction \(\displaystyle{f : x\mapsto\frac{1-x}{1+x^2}}\) est définie et continue sur \(\mathbb R\) où elle est localement intégrable.

Étude de l’intégrale impropre \(\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1-t}{1+t^2}dt}\)

On étudie séparément les intégrales \(\displaystyle{J=\int_{-\infty}^0\frac{1-t}{1+t^2}dt}\) et \(\displaystyle{K=\int_0^{+\infty}\frac{1-t}{1+t^2}dt}\).

Quand \(x\) tend vers \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)) la fonction \(f\) garde un signe constant et vérifie \(\displaystyle{\frac{1-x}{1+x^2}\sim-\frac{1}{x}}\), les deux intégrales \(J\) et \(K\) sont divergentes, donc \(\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1-t}{1+t^2}dt}\) l’intégrale est divergente.

Recherche d’une limite éventuelle de \(\displaystyle{\int_{-x}^{x}\frac{1-t}{1+t^2}dt}\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

Pour tout \(x\) réel, on a :

\(\displaystyle{\int_{-x}^{x}\frac{1-t}{1+t^2}dt=\int_{-x}^{x}\frac{dt}{1+t^2}-\int_{-x}^{x}\frac{t~dt}{1+t^2}=[\arctan t]_{-x}^{x}-0=\arctan x-\arctan(-x)=2\arctan x}\).

Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\arctan x\) a une limite et on a : \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\int_{-x}^{x}\frac{1-t}{1+t^2}dt=\pi}\) ce qui montre l'existence de la limite et en donne la valeur.

Cet exemple illustre la nécessité, quand une intégrale impropre présente des problèmes aux deux bornes, de diviser l’intervalle d’intégration et d’étudier séparément les deux intégrales obtenues.