Exercice 8
Partie
Question
Étude de la série de terme général \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{n\ln n(\ln(\ln n))^m}\quad(n\ge3)}\).
Aide simple
Etudier la série, en utilisant la comparaison avec une intégrale impropre.
Solution détaillée
On considère la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{1}{x\ln x(\ln(\ln x))^m}}\) qui est bien définie sur l’intervalle \([3,+\infty[\) (car \(3>e\)).
La série \(\displaystyle{\sum_{n\ge3}\frac{1}{n\ln n(\ln(\ln n))^m}}\) est convergente si et seulement si l’intégrale \(\displaystyle{\int_{3}^{+\infty}\frac{dt}{t\ln t(\ln(\ln t))}}\) est convergente. Le changement de variable \(u=\ln(\ln t)\) transforme l’intégrale en \(\displaystyle{\int_{\ln(\ln3)}^{+\infty}\frac{du}{u^m}}\) .
C’est une intégrale de Riemann.
Conclusion : L’intégrale et donc la série sont convergentes si et seulement si \(m>1\) .