Exercice 7
Partie
Question
L’assertion suivante est-elle vraie ?
Soit \(f\) une fonction continue sur l’intervalle \([0,+\infty[\). Pour que l’intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}f(t)dt}\) soit convergente, il faut que la fonction \(f\) soit bornée sur \([0,+\infty[\).
Aide simple
L’idée est de chercher un contre-exemple avec une fonction qui prend des valeurs de plus en plus grandes sur des intervalles de plus en plus petits, en dehors desquels elle est nulle.
Solution détaillée
On cherche à construire une fonction \(f\) :
de plus en plus grande pour des valeurs de \(x\) de plus en plus grandes par exemple \(\forall n\in\mathbb N,~f(n)=n\) ;
\(f\) est non nulle sur des intervalles de plus en plus petits : \(\displaystyle{\forall n\ge2,~f\left(n-\frac{1}{n^3}\right)=f\left(n+\frac{1}{n^3}\right)=0}\) ;
\(f\) est affine sur les intervalles \(\displaystyle{\left[n-\frac{1}{n^3},n\right]}\) et \(\displaystyle{\left[n,n+\frac{1}{n^3}\right]}\) ;
\(f\) est nulle partout ailleurs.
L’intégrale se calcule facilement car c’est la somme des aires de triangles dont on connaît la base et la hauteur.
On a alors \(\displaystyle{\int_{2-\frac{1}{8}}^{n+\frac{1}{2}}f(t)dt=\sum_{k=2}^nk\frac{1}{k^3}=\sum_{k=2}^n\frac{1}{k^2}}\). Donc, pour tout \(x\) réel supérieur à \(2\), si \(n\) est l’entier défini par \(\displaystyle{n-\frac{1}{2}\le x<n+\frac{1}{2}}\), on a : \(\displaystyle{\int_{2}^{n+\frac{1}{2}}f(t)dt=\sum_{k=2}^{n-1}\frac{1}{k^2}\le\int_{2-\frac{1}{8}}^xf(t)dt\le\int_{2-\frac{1}{8}}^{n+\frac{1}{2}}f(t)dt=\sum_{k=2}^n\frac{1}{k^2}}\).
La série \(\displaystyle{\sum_{k\ge1}\frac{1}{k^2}}\) étant convergente, l’intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}f(t)dt}\) est convergente.
On a donc construit une fonction continue non bornée dont l’intégrale est convergente.