Exercice 6
Partie
Question
Soit \(f\) une fonction continue sur l’intervalle \([0,+\infty[\) et ayant une limite \(L\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Pour que l’intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}f(t)dt}\) soit convergente
il faut que \(L=0\) ;
il suffit que \(L=0\).
Solution détaillée
Étude de l'assertion 1
On suppose l’intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}f(t)dt}\) convergente. Si la limite \(L\) est non nulle, on peut la supposer strictement positive (on ferait un raisonnement analogue si elle était strictement négative).
Alors il existe un réel \(a>0\), tel qu’on ait : \(\displaystyle{\forall x\ge a~~f(x)>\frac{L}{2}}\).
On a donc : \(\displaystyle{\forall x>a, \int_a^xf(t)dt\ge\int_a^x\frac{L}{2}dt=(x-a)\frac{L}{2}}\).
Ainsi : \(\displaystyle{\forall M>0,~\exists x>a,~\int_a^xf(t)dt\ge(x-a)\frac{L}{2}>M}\). On a donc nécessairement \(L=0\).
Conclusion : l’assertion 1 est vraie.
Étude de l'assertion 2
Montrons que l’assertion est fausse en utilisant le contre-exemple suivant.
Soit \(f\) la fonction définie par : \(\forall x\in[0,1],~f(x)=1\), et \(\displaystyle{\forall x\ge1,~f(x)=\frac{1}{x}}\).
Elle vérifie l'hypothèse or l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}f(t)dt}\) est divergente.
Conclusion : l’assertion 2 est donc fausse.
Question
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^1\) sur l’intervalle \([0,+\infty[\), telle que les intégrales \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}f(t)dt}\) et \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}f'(t)dt}\) soient convergentes.
Montrer (en utilisant la première question) que \(f\) a une limite nulle quand \(x\) tend vers l’infini.
Solution détaillée
On a, pour tout \(x>0\), \(\displaystyle{f(x)-f(0)=\int_0^xf'(t)dt}\), c'est-à-dire \(\displaystyle{f(x)=f(0)+\int_0^xf'(t)dt}\).
Par hypothèse, \(\displaystyle{\int_0^xf'(t)dt}\) a une limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\). La fonction \(f\), dans ces conditions, a également une limite quand \(x\) tend vers l’infini.
D’après la question précédente, cette limite est nulle, sinon l’intégrale serait divergente.