Notion d'ensemble
Notion d'ensemble :
Depuis le début du siècle, tous les objets mathématiques sont décrits en utilisant le langage des ensembles. Ensembles de nombres, ensembles de points, ensembles de fonctions, etc...
On ne définit pas la notion d'ensemble. Nous allons simplement préciser les notations et les règles pour utiliser ce langage de façon sûre.
Exemple :
Vous-même avez commencé à utiliser ce langage.
\(\mathbb N \)ensemble des entiers naturels, \(\{0, 1, 2, 3, \dots\}\)
\(\mathbb Z \)ensemble des entiers relatifs,\( \{0, 1, -1, 2, -2, \dots\}\)
\(\mathbb D \)ensemble des décimaux, c'est-à-dire des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme \(n/10^p,\) \(n\) et \(p\) entiers relatifs. Les décimaux comportent les entiers et les nombres qui peuvent s'écrire sous une forme décimale avec un nombre fini de chiffres non nuls après la virgule. On prendra garde que les nombres décimaux ont deux écritures décimales illimitées : l'une avec des zéros indéfiniment à partir d'un certain rang, l'autre avec des \(9\) indéfiniment à partir d'un certain rang. Par exemple :
\(14,452 = 14,452000\ldots = 14,451999\ldots\)
\(\mathbb Q \)ensemble des rationnels, c'est-à-dire des nombres qui peuvent s'écrire comme le quotient de deux entiers \(n\) et \(m,\) \((m\neq 0).\) On admet qu'à tout nombre rationnel on associe un développement décimal périodique, unique si le nombre n'est pas un décimal.
\(\mathbb R \)les nombres réels. Ils n'ont jusqu'à présent pas été définis. Cette année on donnera très précisément les propriétés des nombres réels utilisables dans les démonstrations. À tout nombre réel on associe un développement décimal illimité, unique si le nombre n'est pas un décimal.
\(\mathbb C \)les nombres complexes qui peuvent s'écrire sous la forme \(a + ib,\) avec \(a\) et \(b\) réels.
En géométrie, vous avez aussi utilisé ce langage en parlant de la droite comme un ensemble de points, etc.
Notion d'appartenance
\(x\in E\) : \(x\) est élément de l'ensemble \(E\)
\(x\in E\) : \(x\) appartient à l'ensemble \(E\)
\(x\notin E\) : est la négation de \(x\in E\)
\(x\notin E\) : \(x\) n'est pas élément de l'ensemble \(E\)
\(x\notin E\) : \(x\) n'appartient pas à l'ensemble \(E\)
Ensemble vide
On considère en mathématiques, qu'il y a un unique ensemble, appelé ensemble vide, qui ne contient aucun élément, et qui est noté \(\emptyset.\) Si on considère un élément \(x\) quelconque, on a forcément \(x\notin\emptyset.\)
Ensembles infinis
Les ensembles ont été inventés pour manipuler des ensembles infinis. Lorsque, à la fin du dix-neuvième siècle, les mathématiciens ont commencé à manipuler des ensembles, ils se sont aperçus que la notion d' "ensemble de tous les ensembles" conduisait à des contradictions. Afin de limiter les ensembles utilisés, ils se sont fixé la règle suivante de formation des ensembles.
Règle de formation
Si on se donne un ensemble \(E\) et une propriété \("P",\) on peut former un nouvel ensemble \(F\) constitué des éléments de \(E\) qui vérifient la propriété \("P".\) Cela s'écrit :
\(F = \{ x\in E ~| ~P(x)\}\)
Écriture d'un ensemble
Pour écrire un ensemble, on a deux possibilités :
Écriture en extension
On énumère ses éléments. On dit qu'on définit l'ensemble en extension. Cette définition n'est pas toujours utilisable : comment écrire ainsi des ensembles tels que l'ensemble des points d'un segment par exemple ?
Exemples :
\(E = \{0, 1, 5, 10\}\)
\(\mathbb Z= \{0, 1, -1, 2, -2, \ldots\}\)
Écriture en compréhension
On se donne une propriété qui caractérise ses éléments. On dit qu'on définit l'ensemble en compréhension. C'est l'écriture des ensembles la plus utilisée.
Exemple :
\([a, b] = \{x\in\mathbb R~|~ a\leq x\leq b \}\)
\(2\mathbb N = \{p ~| ~p ~~"entier ~pair" \}\)
\(\mathbb Q = \{p/q ~|~ p\in\mathbb Z~et~ q\in\mathbb Z~et~ q\neq 0\}\)
\(\mathbb C = \{a + ib ~|~ a\in\mathbb R~et~ b\in\mathbb R\},\) avec \((i^2 = -1)\)
Remarque :
Il y a deux parties dans l'écriture d'un ensemble, séparées par une barre verticale.
\(E = \{ x\in U ~|~ P(x)\}.\)
La première \(x\in U\) indique où sont pris les éléments de l'ensemble, la deuxième \(P(x)\) indique une propriété caractéristique des éléments de l'ensemble \(E.\) Les signes logiques ne peuvent donc intervenir éventuellement qu'au niveau de l'écriture de la propriété \("P"\) et en aucun cas dans la première partie de l'écriture.