Pour démontrer qu'un ensemble est inclus dans un ensemble on prend un élément quelconque de on utilise les hypothèses qui définissent l'ensemble et on démontre que vérifie les propriétés qui définissent l'ensemble La démonstration prend donc la structure suivante :
Soit un élément de l'ensemble
...
(raisonnement)
...
donc est un élément de l'ensemble
Conclusion :
Une non-inclusion
Comment prouver ? Il suffit de trouver un élément de qui n'est pas dans l'ensemble (un contre-exemple suffit).
Une égalité d'ensembles
Deux ensembles sont égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments. Cela se traduit par deux inclusions simultanées.
Pour démontrer l'égalité de deux ensembles et il faudra faire deux démonstrations d'inclusion, d'une part pour démontrer d'autre part pour démontrer
Comment utiliser une hypothèse dans une démonstration ? On utilise que tout élément qui appartient à appartient aussi à et donc vérifie les propriétés qui définissent
Une non-inclusion
Comment utiliser une hypothèse ? On affirme qu'on sait qu'il y a au moins un élément de qui n'est pas élément de on dit qu'on en prend un et on utilise l'élément ainsi défini dans la démonstration qui suit.
Exemple
Reprenons la démonstration faite précédemment de la propriété:
Si alors
La justification a suivi les schémas "Démontrer une inclusion" et "utiliser une inclusion" .
"Démontrer une inclusion"
L'objectif est de montrer que On a donc pris un élément de et nous avons pour but de montrer que est élément de
"Raisonnement"
Il consiste à utiliser deux inclusions données en hypothèse,
"Utiliser une inclusion" : en utilisant l'inclusion donnée par hypothèse, on peut affirmer que est élément de
"Utiliser une inclusion" : comme en utilisant l'inclusion donnée par hypothèse, on peut affirmer que est élément de ce qui est notre but.
"Conclure"
On a donc montré que tout élément de est élément de et donc que est inclus dans
