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Propriétés de distributivité

L'intersection est distributive par rapport à la réunion

Cela résulte de la distributivité de la conjonction par rapport à la disjonction.

Démonstration

Première indication

Pour montrer une égalité d'ensemble on doit démontrer deux inclusions :

Pour montrer une inclusion d'ensembles, on regarde si on peut utiliser des propriétés connues, sinon on prend un élément du premier ensemble et on montre qu'il appartient au second.

Deuxième indication

Pour montrer cette inclusion prendre un élément de et montrer qu'il appartient à

On commence donc par «soit »

Pour montrer cette inclusion, utiliser des propriétés connues de l'intersection et de la réunion d'ensembles.

Démonstration détaillée

Première inclusion

Soit un élément de L'élément appartient à la fois à et à donc ou Nous trouvons deux cas possibles :

  • Premier cas : appartient à donc à Comme est un sous-ensemble de cela montre que est élément de ce qu'il fallait démontrer.

  • Deuxième cas : appartient à donc à sous-ensemble de cela montre que est élément de ce qu'il fallait démontrer.

  • Conclusion : Par conséquent on a montré que tout élément de est élément de et donc l'inclusion cherchée.

Deuxième inclusion

Pour montrer cette inclusion, on va utiliser la propriété connue de la réunion de deux ensembles (qui est le plus petit ensemble contenu dans les deux).

donc :

donc,

On utilise maintenant la propriété connue de l'intersection de deux ensembles (qui est le plus grand ensemble contenu dans les deux). Puisque est un sous-ensemble à la fois de et de la conjonction des deux inclusions montrées précédemment entraîne l'inclusion cherchée :

La réunion est distributive par rapport à l'intersection

Cela résulte de la distributivité de la disjonction par rapport à la conjonction. Démontrer cette propriété en utilisant les mêmes méthodes que dans la démonstration précédente.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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