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Inclusion et égalité

Inclusion d'ensembles

On dit qu'un ensemble est inclus dans un ensemble si tout élément de appartient à

L'inclusion est une inclusion large

D'après la définition précédente, tout ensemble est inclus dans lui même.

Inclusion stricte

Lorsque le sous-ensemble est strictement inclus dans l'ensemble on dit que est un sous-ensemble propre de On doit alors le préciser par la conjonction des deux propriétés:

Ensemble vide et inclusion

L'ensemble vide est contenu dans tout ensemble

Un ensemble non vide a donc toujours au moins deux sous-ensembles, l'ensemble vide et lui même. Par contre, l'ensemble a un seul sous-ensemble, lui-même.

Exemples d'inclusion d'ensembles

Soit l'ensemble Ses sous-ensembles sont les ensembles :

Transitivité de l'inclusion :

étant trois ensembles, si le premier ensemble est contenu dans le second si le deuxième ensemble est contenu dans le troisième alors le premier ensemble est contenu dans le troisième ; on dit que l'inclusion est transitive ; cette propriété s'énonce:

Si alors

et s'écrit en langage formalisé où se lit "implique" et sera revu dans la suite :

Justification

Soit un élément de d'après l'hypothèse on peut affirmer que est élément de D'après l'hypothèse on peut affirmer que est élément de On a donc montré que tout élément de est élément de et donc que est inclus dans

Abus d'écriture

On peut écrire une série d'inclusions qui met en évidence la transitivité de l'inclusion :

Égalité d'ensembles :

Deux ensembles et sont égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments. Cela se traduit par deux inclusions simultanées.

Légende :
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S'exercer
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