Restriction à un sous-espace vectoriel stable d'un endomorphisme diagonalisable. Première méthode

Enoncé

Les hypothèses de cet exercice utilisent le résultat de l'exercice 1 :

Un sous-espace stable par un endomorphisme diagonalisable admet un supplémentaire stable.

Soient un espace vectoriel sur ou de dimension finie , , un endomorphisme de diagonalisable, son polynôme caractéristique.

Soit un sous-espace vectoriel de de dimension , , stable par .

  1. Soit un supplémentaire de stable par .

    On note et les restrictions de aux sous-espaces et .

    On peut donc considérer leurs polynômes caractéristiques et .

    Montrer l'égalité .

  2. Soit une valeur propre de et le sous-espace propre associé à .

    On note et les sous-espaces vectoriels de suivants :

    et .

    a. Montrer l'égalité : .

    b. Montrer que si n'est pas réduit au vecteur nul alors est une valeur propre de , et , considéré comme sous-espace vectoriel de , est le sous-espace propre associé à la valeur propre de .

  3. Montrer à l'aide des questions 1 et 2 que la restriction de au sous-espace vectoriel est diagonalisable.

Temps de résolution indicatif :20 mn
Légende :
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